Probabilità

per ogni numero naturale n maggiore di 0, risulta:
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n
Dimostrazione
Possiamo dimostrare questa identità utilizzando il teorema del binomio di Newton.
Teorema del binomio di Newton:
Per ogni numero reale x e y e per ogni intero non negativo n, si ha:
(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}
Applichiamo il teorema al nostro caso:
Poniamo x = 1 e y = 1. Otteniamo:
(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^k 1^{n-k}
Semplificando:
2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}
Interpretazione combinatoria
Questa identità ha anche una interpretazione combinatoria. Consideriamo un insieme S con n elementi. Il numero di sottoinsiemi di S con k elementi è dato dal coefficiente binomiale \binom{n}{k}. La somma di tutti i coefficienti binomiali \binom{n}{k} per k che va da 0 a n rappresenta il numero totale di sottoinsiemi di S, che è 2^n.
Conclusione
Abbiamo dimostrato che per ogni numero naturale n maggiore di 0, la somma dei coefficienti binomiali \binom{n}{k} da k=0 a n è uguale a 2^n.