Probabilità

Per ora svolgo a) e b)

a) almeno due

AB C'
AB'C
A'BC
ABC

sono disgiunti

p^2/2 + p(1-p)/2 + (1-p)p/2 + p^2/2 =

= p^2 + p(1 -p) = p

b)

Ripeto il calcolo con p' al posto di 1/2

p^2 * (1 - p') + p(1-p)*p' + (1 - p)p p' + p^2*p' =

= p^2 - p^2 p' + 2p p' - 2 p^2 p' + p^2 p' =

= p^2 + 2 p p' - 2 p^2 p'

Richiedere che sia maggiore di p

p^2 + 2 p p' - 2 p^2 p' > p

p + 2p' - 2p p' > 1

2p' (1 - p) > 1 - p

ed essendo p < 1 => 1 - p > 0

2 p' > 1 => p' > 1/2

c) Pr [E1] = C(3,2) * p^2*(1-p) = 3 p^2 (1 - p)

Pr [E2] = C(3,3) * [ p^2 + 2p p' - 2 p^2 p' ]^3 =

= p^3 ( p + 2 p' - 2 p p')^3

Pr [E3] = 1 - Pr [ nessuno assolto ] =

= 1 - Pr [ tre non assolti ] =

= 1 - [1 - p(p + 2 p' - 2 p p')]^3

L'ultima parte é molto semplice

3*9/16 * 1/4 = (27/64)*(3/4 + 2p' - 3/2 p')^3

27/64 = 27/64 *(p'/2 + 3/4)^3

(p'/2 + 3/4)^3 = 1

p'/2 = 1 - 3/4 = 1/4

2p' = 1

p' = 1/2