Probabilità

$\textbf{a.}$
Tra le $6$ facce del cubo $2$ sono nere, quindi ogni volta che lancerò il dado avrò $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ di probabilità di ottenere una faccia nera, quindi la probabilità è $P_N = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

$\textbf{b.}$
Abbiamo già calcolato $P_N$ in $\textbf{a.}$ quindi ora calcoliamo $P_B$ con la stessa logica e sommiamo le due probabilità per ottenere $P_{N \cup B}$:
$P_B= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$, $P_{N \cup B} = \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36}$

$\textbf{c.}$
Avendo già trovato $P_{N \cup B}$, basta trovare $P_R$ e sommare le due probabilità per ottenere $P_{N \cup B  \cup R}$, $P_R= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, $P_{N \cup B  \cup R}= \frac{5}{36} + \frac{1}{4} = \frac{7}{18}$

$\textbf{d.}$
La probabilità richiesta è la probabilità che non si sia verificato l'evento descritto in $\textbf{c.}$, perché se le palline devono necessariamente essere di colore diverso, non possono essere entrambe dello stesso colore (gli eventi sono mutualmente esclusivi, perché l'uno è l'opposto dell'altro), quindi la probabilità è $P= 1-P_{N \cup B  \cup R} = 1- \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$

$\textbf{e.}$
Sapendo che entrambe le palline hanno lo stesso colore, il numero di casi totali si è ristretto, quindi rispettivamente a queste conoscenze, la probabilità è aumentata, in particolare nella scatola ci sono $2C2 = \binom{2}{2} = 1$ coppie di palline nere, $3C2 = \binom{3}{2} = 3$ coppie di palline rosse, e un solo modo di ottenere due facce bianche di seguito, quindi la probabilità di ottenere due facce bianche di seguito è $\frac{1}{1+1+3} = \frac{1}{5}$