Probabilità

Questo era molto bello.

La risposta corretta è $\textbf{C.}$

Indichiamo con $M$ il numero di maschi nel campo estivo, è dato nel testo che le ragazze, che indicheremo con $F$, sono in numero $40\%$ in più rispetto ai ragazzi, ovvero $F=140\% M$, ci viene inoltre dato che la probabilità che selezionati due rappresentanti del sesso opposto è esattamente $\frac{1}{2}$. Per risolvere questo problema concentriamoci su quest'ultima informazione, se la probabilità che i rappresentanti siano del sesso opposto è $\frac{1}{2}$, anche la probabilità che non lo siano (sua complementare) è $\frac{1}{2}$, quindi le coppie di rappresentanti dello stesso sesso sono in numero uguale alle coppie di rappresentanti del sesso opposto, quindi:

$\binom{M}{2} + \binom{F}{2} = F \cdot M$

(perché la probabilità non è altro che un rapporto tra il numero di coppie considerate e coppie totali quindi $\frac{F \cdot M}{FC2 + MC2 + F \cdot M} = \frac{1}{2}$, moltiplicando per $2(FC2 + MC2 + F \cdot M)$ otteniamo che $2F \cdot M = FC2 + MC2 + F \cdot M$ da cui $F \cdot M = FC2+MC2$)

Scriviamo tutto in termini di $M$:

$\frac{1}{2}M(M-1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{10} M( \frac{14}{10} M-1) = \frac{14}{10} M \cdot M$

(moltiplico tutto per $50$ per liberarmi dei denominatori)

$25M^2-25M+49M^2-35M=70M^2$

$4M^2-60M=0$

$M^2-15M=0$

$M(M-15)=0$

$M=15$ e quindi $F=\frac{14}{10} 15 = 21$.

Sommando le quantità, otteniamo che al campo vi si trova un numero $T=M+F=36$ di partecipanti.