Probabilità

$\textbf{a.}$

La probabilità che il giocatore perda 3 volte in una serie di 5 lanci definita è $P_S=\frac{1}{6^3} \cdot \frac{5^2}{6^2}=\frac{5^2}{6^5}$, la probabilità complessiva di perdere 3 volte è uguale $P_S$ per il numero di modi in cui è possibile perdere esattamente tre volte. Immaginiamo la partita di questo gioco avvincente come una stringa di 3 caratteri $S$ e due caratteri $V$ (rispettivamente sconfitta e vittoria), allora la partita potrebbe essere una stringa del tipo $SSVSV,\ SVVSS,\ SSSVV...$, dobbiamo trovare gli anagrammi di questa stringa con 3 ripetizioni di un elemento e 2 dell'altro, che sono $A=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=10$, quindi la probabilità cercata è $P=P_S \cdot A = \frac{5^2}{6^5} \cdot 10=\frac{5^3}{6^4 \cdot 3} = \frac{125}{3888}$.

$\textbf{b.}$

Applicando lo stesso ragionamento usato in $\textbf{a.}$ abbiamo una stringa come $SSSSV$, quindi gli anagrammi sono $A_1= \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5$, la probabilità di perdere in una serie definita è $P_V=\frac{5^4}{6^4} \cdot \frac{1}{6}= \frac{5^4}{6^5}$, allora la probabilità cercata è $P_1= P_V \cdot A_1 = \frac{5^4}{6^5} \cdot 5 = \frac{5^5}{6^5}=\frac{3125}{7776}$