Probabilità

$\textbf{a.}$ Se i ragazzi devono sedersi tutti accanto tra loro, allora basta considerare il gruppo di ragazzi come un elemento unico da permutare insieme alle altre 3 ragazze, quindi abbiamo un totale di 4 elementi che possiamo permutare in $4!=24$ modi, tuttavia anche gli stessi ragazzi all'interno del loro gruppo possono disporsi in $4!$ modi, in totale quindi ci sono $4! \times 4!=576$ modi in cui i ragazzi possono disporsi affinché sia rispettata la condizione richiesta, per trovare la probabilità basta dividere questo numero per le disposizioni totali quindi $P_M=\frac{576}{7!}=\frac{576}{5040}=\frac{4}{35}$.

$\textbf{b.}$ Applichiamo la stessa logica che abbiamo usato in $\textbf{a.}$ con le ragazze, quindi abbiamo $3!=6$ modi per combinare le ragazze fra loro e $5!$ modi per combinare il gruppo di ragazze e gli altri ragazzi, quindi la probabilità è $P_F=\frac{3! \cdot 5!}{7!}=\frac{1}{7}$.

$\textbf{c.}$ Se vogliamo che tutti i ragazzi siedano vicini e che tutte le ragazze siedano vicine, dobbiamo considerare 2 gruppi che si possono permutare in $2!=2$ modi, tuttavia nel gruppo dei ragazzi ci sono $4!=24$ permutazioni interne, mentre in quello delle ragazze ce ne sono $3!=6$, quindi nel complesso la probabilità che l'evento richiesto si verifichi è $P_T=\frac{4! \cdot 3! \cdot 2!}{7!}=\frac{2}{35}$.