Un'urna contiene 15 palline, numerate da 1 a 15 . Un gioco consiste nell'estrarre in successione, a caso e senza reimmissione, due palline. Si vince se la somma dei due numeri estratti è maggiore di 15 . Marco partecipa al gioco e la prima pallina che estrae risulta un " 9 ". Dopo questa prima estrazione Marco punta 2 euro (che andranno completamente persi in caso di sconfitta); quanto dovrebbe ricevere Marco in caso di vittoria, affinché il gioco sia equo?
Quesito numero 2
35
punti
Livello 0
8272
punti
Livello 7
Le palline rimaste sono da $1$ a $8$ e da $10$ a $15\,$, ovvero $14$ palline, tale che
\[9 + x > 15 \implies x > 6\,;\]
quindi i numeri vincenti possibili sono $\{7,8,10,11,12,13,14,15\}\,$, ovvero $8$ palline.
La probabilità di estrarre una pallina vincente è data dalla probabilità Laplaciana
\[P(V) = \frac{8}{15} = \frac{4}{7} \mid P(V)^{\mathcal{C}} = \frac{3}{7}\,.\]
Il valore atteso è descritto dall'equazione
\[\frac{4}{7}x - \frac{3}{7} \cdot 2 = 0 \iff x = \frac{6}{4} = 1,5 \:\text{euro}\,.\]
Poiché sono stati scommessi $2$ euro, allora
\[x = 2 + 1,5 = 3,5\:\text{euro}\,.\]
3584
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Livello 5
Dopo che e' stato estratto il 9 ci sono 14 palline di cui risultano utili da 7 a 15 escluso il 9 già uscito
8/14 = 4/7 e' la probabilità di vincere. La probabilità di perdere e' 3/7.
-2 * 1 + 0*3/7 + v*4/7 = 0 per equità
4/7 v = 2
v = 2*7/4 = 3.50
47869
punti
Livello 7
