Tra le coppie ordinate di numeri reali la somma dei cui valori assoluti è minore o uguale a 4 , se ne sceglie una a caso: qual è la probabilità che il prodotto dei due numeri che costituiscono la coppia risulti maggiore di 3 ?
Ciao, qualcuno sa spiegarmi i passaggi da fare per svolgerlo?
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Livello 0
|x| + |y| <= 4
può essere riscritta come
|y| <= 4 - x
Quindi posto 4 - x >= 0 => x < 4
x - 4 < y < 4 - x
e ne viene questo grafico
https://www.desmos.com/calculator/ulqtfmai09
L'area del quadrato grande ( lo spazio campione ) é Sp = 8*8/2 = 32
Da 4 - x = 3/x
si trae 4x - x^2 = 3
x^2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1 e x = 3
L'area che si deve considerare perché cade all'esterno dell'iperbole
che delimita il confine dei casi favorevoli é il doppio di
S' = S_[1,3] (4 - x - 3/x) dx = [4x - 1/2 x^2 - 3 ln |x|]_[1,3] =
= (12 - 1/2 * 9 - 3 ln 3 ) - ( 4 - 1/2 - 0 ) =
= 12 - 9/2 - 3 ln 3 - 4 + 1/2 =
= 8 - 4 - 3 ln 3 = 4 - 3 ln 3
ed é quindi Sf = 8 - 6 ln 3
Dunque, essendo la densità uniforme,
Pr [E*] = Sf/Sp = (8 - 6 ln 3)/32 = (4 - 3 ln 3)/16 = 1/4 - 3/16 ln 3 =
= 0.044
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Livello 7
@eidosm garzie per la risposta :).
Ho solo 2 dubbi 😅
1) con quale logica all'inzio hai deciso di mettere "4 - x = 3/x"? Perché li hai equiparati?
2) con quale logica hai capito che la probabilità si trovava facendo "Sf/Sp"?
1) perché la metà (per simmetria) dell'area esterna all'iperbole nel quadrato si calcola come integrale della differenza di funzioni : y_sup = 4 - x e y_inf = 3/x (da xy = 3)
2) perché se la densità é uniforme ( il testo dice ' a caso' ) il rapporto cf/cp é sostituito dal rapporto fra le aree.
@eidosm aaa okk grazie mille 🙂
La disequazione
* |x| + |y| <= 4
rappresenta il quadrato, frontiera compresa, di vertici (± 4, ± 4) e area Sq = 32.
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La disequazione
* x*y > 3
rappresenta la concavità, frontiera compresa, dell'iperbole di vertici ± (√3, √3).
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L'area comune Sh è il doppio dell'integrale, fra le ascisse delle intersezioni nel primo quadrante
* (x + y = 4) & (x*y = 3) ≡ A(1, 3) oppure B(3, 1)
della differenza fra retta e iperbole
* Sh = 2*∫ [x = 1, 3] ((4 - x) - (3/x))*dx = 2*(4 - 3*ln(3))
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La richiesta probabilità è il rapporto fra le aree: Sh/Sq = 2*(4 - 3*ln(3))/32 ~= 0.044
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Genius I
