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[Risolto] Probabilità

  

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Premessa. Questo esercizio è già stato svolto nel gruppo ma trattandosi di un esercizio pubblicato in un testo scolastico nella parte introduttiva alla probabilità lo studente che cerca di risolverlo non conosce formule ma praticamente conosce soltanto la definizione di probabilità (casi favorevoli/casi possibili); ciò mi fa pensare che debba essere svolto in maniera intuitiva. Avete un’idea di come affrontarlo?

Nella Repubblica di Gyné si tramanda da secoli una singolare tradizione. Tutte le coppie vogliono avere una figlia femmina, quindi se concepiscono un maschio, fanno un altro figlio. Quando mettono al mondo una bimba, smettono di avere figli. Qual è il rapporto tra maschi e femmine in tale popolazione?

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3

La femmina sta sempre alla fine, in tutte le famiglie.

Sia "1" la numerosità di queste ultime, allora

F       1/2

MF     1/4

MMF   1/8

MMMF 1/16

 

etc etc

La somma di tutte le femmine é ovviamente 1

I maschi sono 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + ... =

= S_k [k/2^(k+1)] = 1/2 S_k (k/2^k)

e qui non ti so aiutare perché il calcolo di questa serie,

lo sai benissimo, non é elementare. Anche se la somma é 1.

 

Se mi viene in mente qualcosa per aggirare QUESTA difficoltà lo scrivo qui.

AGGIORNAMENTO.

Ho trovato un modo elementare.

La somma 1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + 5/64 + ...

può essere decomposta in somma di serie geometriche

secondo lo schema

 

1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 ...

         1/8  + 1/16 + 1/32 + 1/64 ...

                   1/16 +  1/32 + 1/64 ...

                               1/32 + 1/64 ...

                                          1/64 ...

 

in cui i vari termini si leggono come somma per colonne

Adesso la somma della prima riga é 1/4 : (1 - 1/2) = 1/4 : 1/2 = 1/2

della seconda é 1/8 : (1 - 1/2) = 1/4

della terza é 1/16 : (1 - 1/2) = 1/8

della quarta é 1/32 : (1 - 1/2) = 1/16

e così via fino all'infinito

 

La somma di tutte le serie é quindi semplicemente

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2 : (1 -1/2) = 1/2 : 1/2 = 1

e il rapporto M/F sarà quindi 1:1.

 

 

Nota bene.

Per l'esperto di Analisi 2 la liceità di questi passaggi é legata alla convergenza

uniforme delle serie coinvolte. Questo non interessa il ragazzino che deve svolgere

l'esercizio.

@eidosm grazie!

@eidosm grazie mille! Ecco così si rende il problema comprensibile….



2

Bellissimo! No, non ho un'idea di come affrontarlo.
Procederò a tentoni, ma guidato dalla fievole lucina di «pubblicato ... nella parte introduttiva alla probabilità».
Stante la "parte introduttiva" non uso le probabilità (p, q) per gli eventi (F, M): uso un bel 1/2, e via!
Parto #1: F = 1/2; M = 1/2.
Parto #2: F = 1/2^2; M = 1 + 1/2^2.
Parto #3: F = 1/2^3; M = 2 + 1/2^3.
[...]
Parto #k: F = 1/2^k; M = k - 1 + 1/2^k.
[...]
Parto #n: F = Σ [k = 1, n] 1/2^k; M = Σ [k = 1, n] (k - 1 + 1/2^k).
Qual è il rapporto tra maschi e femmine in tale popolazione?
* M/F = lim_(n → ∞) (Σ [k = 1, n] (k - 1 + 1/2^k))/(Σ [k = 1, n] 1/2^k) =
= lim_(n → ∞) (1 - 1/2^n + (n - 1)*n/2)/(1 - 1/2^n) =
= ∞
Boh? Ribadisco: non ho un'idea di come affrontarlo. Mi dispiace.
Possibile che lo debba risolvere uno che ha settant'anni meno di me, e che io non ci riesca.
Pare che il dottore tedesco stia venendo a prendere un caffè con me.



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