[Risolto] Probabilità

Nel lancio di due dadi a 3 facce, la V.A.

X="somma dei due valori ottenuti" ha distribuzione teorica di probabilità pari  a:

Nel lancio di un dado, la V.A.

Y=" punteggio ottenuto"

la distribuzione teorica di probabilità è:

Quindi se non ho capito male, bisognerebbe rispondere:

a) con che probabilità si realizza X>Y ?

b) con che probabilità si realizza X=Y ?

c) con che probabilità si realizza X

Costruiamo quindi una tabella a doppia entrata:

In rosa ci sono i risultati di a); in azzurro i risultati di b) ed in giallo i risultati di c)

X>Y

1^ riga tutta:1/54·(1 + 2 + 3 + 2 + 1) = 1/6

2^ riga: 1/54·(2 + 3 + 2 + 1) = 4/27

3^ riga: 1/54·(3 + 2 + 1) = 1/9

4^ riga: 1/54·(2 + 1) = 1/18

5^ riga: 1/54·1 = 1/54

Quindi:

Ρ = 1/6 + 4/27 + 1/9 + 1/18 + 1/54 = 1/2

X=Y

1/54·(1 + 2 + 3 + 2 + 1) = 1/6

X<Y

1/54·(1·4 + 2·3 + 3·2 + 2) = 1/3

(Colonne interessate in giallo)

Verifica:

1/2 + 1/6 + 1/3 = 1

Dai due dadini possono uscire

2   11          1 modo       (1/9)

3   12,21     2 modi        (2/9)

4   13,22,31   3 modi      (1/3)

5   23,32      2 modi       (2/9)

6   33          1 modo       (1/9)

e l'evento si verifica se sul dadone escono

1     (1/6)

1,2  (1/3)

1,2,3   (1/2)

1,2,3,4   (2/3)

1,2,3,4,5   (5/6)

Quindi   Pr [E*] = 1/9 *1/6 + 2/9*1/3 +1/3*1/2 + 2/9*2/3 + 1/9*5/6 =

= (1 + 4 + 9 + 8 + 5)/54 = 27/54 = 1/2

e analogo ragionamento per gli altri due.

Uguale :

1/9 * 1/6 + 2/9 * 1/6 + 1/3 *1/6 + 2/9*1/6 + 1/9 * 1/6 = 1/6

Per differenza l'ultima dovrebbe essere 1 - (1/2 + 1/6) = 1/3

ma ti invito a verificarlo.

Aggiornamento : lo sviluppo completo é

1/9 * 2/3 + 2/9 * 1/2 + 1/3*1/3 2/9*1/6 + 1/9*0 =

= 2/27 + 1/9 + 1/9 + 1/27 = (2+3+3+1)/27 = 9/27 = 1/3

Fusse ca fusse (© Nino Manfredi) che hai inventato qualche spazio alieno?
Nel normale spazio euclideo tridimensionale il solido regolare col minimo numero di facce è il tetraedro, che ne ha quattro: "dadi a tre facce", nel nostro spazio, non ne possono esistere.
Se vuoi un dispositivo che presenti in maniera equiprobabile uno dei valori {1, 2, 3} devi pensare a una ruota del Lotto con dentro solo quelle tre palle, non a un dado!
Le possibili somme s di due tali estrazioni sono
* s ∈ {2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6}
e l'insieme delle coppie {somma s, probabilità p(s)} è
* {{2, 1/9}, {3, 2/9}, {4, 3/9}, {5, 2/9}, {6, 1/9}}
http://www.wolframalpha.com/input?i=tally%5Bsort%5Bflatten%5Btable%5B%28a%2Bb%29%2C%7Ba%2C1%2C3%7D%2C%7Bb%2C1%2C3%7D%5D%2C1%5D%5D%5D
mentre i possibili valori del dado normale sono
* d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
con le coppie {d, p(d)}
* {{1, 1/6}, {2, 1/6}, {3, 1/6}, {4, 1/6}, {5, 1/6}, {6, 1/6}}
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Per rappresentare lo spazio degli eventi su cui definire le probabiità dei tre esiti richiesti farebbe comodo un editor di tabelle, che non ho: devo cavarmela a chiacchiere e aritmetica.
L'evento "d & s" ha probabilità p(d & s) = p(s)/6, quindi elimino le {d, p(d)} e modifico le {s, p(d)} in {s, p(d & s)}
* {{2, 1/54}, {3, 2/54}, {4, 3/54}, {5, 2/54}, {6, 1/54}}
da questa linea di coppie ne formo sei di quaterne del formato
{s, d, p(d & s), relazione s <=> d}
una per ciascuno dei valori d
* {{2, 1, 1/54, >}, {3, 1, 2/54, >}, {4, 1, 3/54, >}, {5, 1, 2/54, >}, {6, 1, 1/54, >}}
* {{2, 2, 1/54, =}, {3, 2, 2/54, >}, {4, 2, 3/54, >}, {5, 2, 2/54, >}, {6, 2, 1/54, >}}
* {{2, 3, 1/54, <}, {3, 3, 2/54, =}, {4, 3, 3/54, >}, {5, 3, 2/54, >}, {6, 3, 1/54, >}}
* {{2, 4, 1/54, <}, {3, 4, 2/54, <}, {4, 4, 3/54, =}, {5, 4, 2/54, >}, {6, 4, 1/54, >}}
* {{2, 5, 1/54, <}, {3, 5, 2/54, <}, {4, 5, 3/54, <}, {5, 5, 2/54, =}, {6, 5, 1/54, >}}
* {{2, 6, 1/54, <}, {3, 6, 2/54, <}, {4, 6, 3/54, <}, {5, 6, 2/54, <}, {6, 6, 1/54, =}}
ora raggruppo le quaterne sul valore della relazione, sommo i 54-mi dei gruppi ed esibisco gli esiti richiesti.
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a) s < d
{2, 3, 1/54, <}, {2, 4, 1/54, <}, {2, 5, 1/54, <}, {2, 6, 1/54, <}, {3, 4, 2/54, <},
{3, 5, 2/54, <}, {3, 6, 2/54, <}, {4, 5, 3/54, <}, {4, 6, 3/54, <}, {5, 6, 2/54, <}.
p(s < d) = (1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 2)/54 = 1/3
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b) s = d
{2, 2, 1/54, =}, {3, 3, 2/54, =}, {4, 4, 3/54, =}, {5, 5, 2/54, =}, {6, 6, 1/54, =}.
p(s = d) = (1 + 2 + 3 + 2 + 1)/54 = 1/6
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c) s > d
{2, 1, 1/54, >}, {3, 1, 2/54, >}, {3, 2, 2/54, >}, {4, 1, 3/54, >}, {4, 2, 3/54, >},
{4, 3, 3/54, >}, {5, 1, 2/54, >}, {5, 2, 2/54, >}, {5, 3, 2/54, >}, {5, 4, 2/54, >},
{6, 1, 1/54, >}, {6, 2, 1/54, >}, {6, 3, 1/54, >}, {6, 4, 1/54, >}, {6, 5, 1/54, >}.
p(s < d) = (1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)/54 = 1/2
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* p((s < d) | (s = d) | (s < d)) = 1
dovrebbe corroborare la corretttezza della procedura.