Scrivi l'equazione dell ellisse con i fuochi sull asse y, con un vertice in V(0, -2) ed eccentricità vale 1/2
Scrivi l'equazione dell ellisse con i fuochi sull asse y, con un vertice in V(0, -2) ed eccentricità vale 1/2
@StefanoPescetto
ti chiedo scusa, ma devo farti un'appunto: hai introdotto un'ipotesi semplificativa ingiustificata; il testo nulla dice sulla posizione verticale, dà soltanto la posizione orizzontale e l'orientamento.
Il candidato che si autosemplifica il compito, in sede d'esame, lo si penalizza pesantemente (però è dal 2003 che non sono più in alcuna commissione d'esame!).
Mi viene da sorridere perché le scuse, al contrario dell'appunto, sono ingiustificate! Ho semplificato palesemente lo svolgimento dell'esercizio. Come ti ho scritto altre volte, tanto è il piacere di vedere che ho la tua approvazione negli esercizi che svolgo tanto è il piacere di imparare qualcosa dalle tue osservazioni. Quindi grazie e buona serata!
Se i fuochi sono sull'asse y allora l'ellisse ha assi di simmetria paralleli a quelli coordinati e, anzi, quello verticale coincidente; quindi ha equazione di forma
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
dove i parametri sono i semiassi (a, b) positivi e le coordinate del centro C(α, β).
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"fuochi sull'asse y" implica
* Γ ≡ (x/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
* C(0, β)
* 0 < a < b
* semidistanza focale c = √(b^2 - a^2)
* eccentricità e = c/b = √(1 - (a/b)^2)
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Ciascuna delle condizioni da rispettare impone un vincolo sui parametri.
* "fuochi sull'asse y" ≡ 0 < a < b
* "un vertice in V(0, - 2)" ≡ β ± b = - 2 ≡ b = - 2 ± β
* "eccentricità vale 1/2" ≡ √(1 - (a/b)^2) = 1/2 ≡ b = ± (2/√3)*a
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Il sistema dei vincoli
* (b = - 2 ± β) & (b = ± (2/√3)*a) & (0 < a < b)
assume quattro possibili aspetti
* (b = - 2 - β) & (b = - (2/√3)*a) & (0 < a < b) ≡ incompatibile
* (b = - 2 - β) & (b = + (2/√3)*a) & (0 < a < b) ≡
≡ (a, b) = (- (√3/2)*(β + 2), - (β + 2)) & (β < - 2)
* (b = - 2 + β) & (b = - (2/√3)*a) & (0 < a < b) ≡ incompatibile
* (b = - 2 + β) & (b = + (2/√3)*a) & (0 < a < b) ≡
≡ (a, b) = ((√3/2)*(β - 2), β - 2) & (β > 2)
con due possibili famiglie d'ellissi secondo l'ordinata del centro
* β < - 2: Γ(β) ≡ (x/((√3/2)*(β + 2)))^2 + ((y - β)/(β + 2))^2 = 1
* β > + 2: Γ(β) ≡ (x/((√3/2)*(β - 2)))^2 + ((y - β)/(β - 2))^2 = 1