[Risolto] Potreste dirmi dove ho sbagliato ?

Ovviamente sì che potrei (e tu lo sai benissimo, altrimenti non avresti pubblicato la domanda!), ma non lo farò perché mi sembra più fruttuoso che sia tu stessa a farlo dopo aver seguito il mio procedimento per passare dai dati al risultato.
Nominare con un simbolo semplice ogni entità rilevante.
Tradurre in formule, composte con quei nomi, le relazioni fra le entità.
Manipolare l'insieme delle formule fino a isolare i simboli dei risultati.
SARO' NOIOSO PERCHE' TI SCRIVERO' OGNI MINIMO PASSAGGIO; ma tu, dopo che avrai capito, potrai scrivere molto di meno: solo l'essenziale.
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Unità di misura: lunghezza, dm; superficie, dm^2; volume, dm^3.
NOMI, VALORI, RELAZIONI
Dati
* A = 370*√3 = area della superficie totale del prisma retto
* a = 18 = base maggiore del trapezio isoscele di base del prisma
* b = 12 = base minore del trapezio
* θ = 60° = ampiezza degli angoli interni adiacenti alla base maggiore del trapezio
Incognite
* x = altezza del prisma (risultato atteso: x = (20/3)*√3)
* h = altezza del trapezio
* c = lato obliquo del trapezio
* p = a + b + 2*c = perimetro del trapezio
* h*(a + b)/2 = area del trapezio
* h*(a + b) = area delle basi del prisma
* p*x = area laterale del prisma
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Modellazione del problema
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Esprimere il risultato in funzione delle altre entità
* A = 370*√3 = h*(a + b) + p*x =
= h*(a + b) + (a + b + 2*c)*x = (a + b)*(h + x) + 2*c*x =
= (18 + 12)*(h + x) + 2*c*x ≡
≡ 370*√3 = 15*(h + x) + c*x ≡
≡ x = 5*(74*√3 - 3*h)/(c + 15)
Per valutare x occorre e basta trovare altezza e lato obliquo della base.
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Il trapezio isoscele di base del prisma, avendo gli angoli acuti di 60°, è ottenuto scamozzando un triangolo equilatero, di lato a e altezza (√3/2)*a, con una parallela a un lato di lunghezza b.
il rapporto di similitudine è
* k = b/a = 12/18 = 2/3
Quindi il lato obliquo del trapezio è
* c = a - (2/3)*a = a/3 = 6
e l'altezza del trapezio è
* h = (√3/2)*a - (2/3)*(√3/2)*a = a/(2*√3) = 9/√3
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CONCLUSIONE
* x = 5*(74*√3 - 3*h)/(c + 15) =
= 5*(74*√3 - 3*9/√3)/(6 + 15) =
= (325/21)*√3
valore che, pur se diverso da quello calcolato da te, indica una di due eventualità
* il risultato atteso è quello di un altro esercizio
* io ho avuto una botta di vecchiaia e ho smarronato da qualche parte
PURTROPPO SONO MOLTO PROBABILI AMBEDUE.

 Io l'ho svolto in questo modo, spero ti sia utile. 

Un prisma retto ha per base un trapezio isoscele le cui basi sono lunghe B = 18 dm e b = 12 dm, mentre i lati obliqui formano un angolo di 60∘ con la base maggiore. Determina l'altezza del solido, sapendo che la superficie totale è 370√3 dm^2

angolo aDh = 30°

AH = (B-b)/2 = 6/2 = 3 dm 

l = AH*2 = 6 dm 

h = (l*√3)/2 = 3√3

 perimetro p = 12+18+12 = 42 cm 

doppia area base = (B+b)*h = 30*3√3 = 90√3

area laterale Al = 370√3 - 90√3 = 280√3

altezza H = Al/p = 280√3/42 = (20√3)/3 dm