[Risolto] potete risolvermi questo problema? non so come iniziare. per favore non siate sintetici. devo capire.

Prima di arrivare alla soluzione, analizziamo come cambia la funzione al variare di $(a,b,c) \in \mathbb{R}^+$:

$f(x)=a \sin b(x-c)$

$a$ è il coefficiente di $\sin b(x-c)$, questo parametro della funzione si chiama amplitudine, indica la distanza massima che un qualsiasi punto della funzione può avere rispetto all'asse delle ascisse. Possiamo determinare dalla figura, osservando il picco della funzione, che il valore dell'ordinata è $y=2$, quindi $a=2$. $b$ invece è la frequenza della funzione, ovvero il numero di volte in cui la funzione si ripete nel suo periodo, la funzione seno ha come periodo $2 \pi$, il nostro $b$ "comprime" la funzione in modo che si ripeta 2 volte nel suo intervallo originale, il nuovo periodo quindi è $\frac{2 \pi}{b}$. Quando b è un numero negativo questo ribalta la funzione.

Conta le creste dell'onda per ricavare il periodo graficamente:

$bc$ è la fase della funzione, è praticamente un parametro di traslazione lungo un vettore $\vec{V}=(bc,0)$, trasla verso destra quando è positivo, verso sinistra quando è negativo (le funzioni sinusoidali sono normalmente scritte nella forma $f(x)=a\sin (bx+c)+h$, qui $c$ è la fase: 

Nota che $\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2})$ (traslato di 2 la funzione coseno in modo che non si sovrapponesse e potessi vedere meglio).

Adesso che sappiamo che cosa sono $b$ e $c$ vediamo come ricavarli dalle informazioni date nel grafico.

Notiamo che $\frac{2\pi}{3}$ è uno zero della funzione, ciò significa che $b(\frac{2\pi}{3}-c)=0$, perché è lo zero che segue dopo il picco negativo della funzione, dato che $b$ è positivo ricaviamo inequivocabilmente che $c=\frac{2\pi}{3}$.

Per determinare $b$ invece usiamo l'altro zero della funzione $b(\frac{\pi}{6}-\frac{2 \pi}{3})= - \pi$ (il meno perché viene prima di $\frac{2 \pi}{3}$ che abbiamo stabilito essere 0, quindi non può essere maggiore, quindi segue che $b=2$. Nota che $a=2=b$ sono termini fissi nella nostra terna, mentre $c$ darà un risultato equivalente se è un numero reale del tipo $\frac{2 \pi}{3} +2 \pi k$, perché dopo $\theta + 2\pi k$ sono angoli complanari. Per verificare che sia valida la riscrittura $f(x)=2 \sin(2x-\frac{4 \pi}{3})$ dobbiamo verificare che la fase sia un numero reale del tipo definito pocanzi e che $a=2=b$ quindi raccogliamo il 2 all'interno dell'argomento: $f(x) = 2 \sin (2(x-\frac{2}{3} \pi))$ chiaramente $a=2=b$, e $-\frac{2 \pi}{3} = - \frac{2 \pi}{3} +2 \pi \cdot 0$, quindi le funzioni sono equivalenti.

Per quanto riguarda il grafico di $g(x)= |f(x)|$, basta rivolgere tutte le creste dell'onda verso l'alto, perché il valore assoluto rende tutto positivo (o nullo).

Aggiungo anche che una funzione sinusoidale completa si presenta come $f(x)= a \sin (bx+c)) +h$, $h$ è un parametro di traslazione lungo le ordinate che trasla la funzione secondo il vettore $\vec{H}= (0,h)$.

Grafico di $g(x)$:

https://www.desmos.com/calculator/4pv247kc7z