[Risolto] potete risolvermi questo problema? non so come iniziare. per favore non siate sintetici. devo capire.

Prima di arrivare alla soluzione, analizziamo come cambia la funzione al variare di $(a,b,c) \in \mathbb{R}^+$:

$f(x)=a \sin b(x-c)$

$a$ è il coefficiente di $\sin b(x-c)$, questo parametro della funzione si chiama amplitudine, indica la distanza massima che un qualsiasi punto della funzione può avere rispetto all'asse delle ascisse, quando è presente un parametro di traslazione, $a$ indica graficamente la metà della distanza tra creste d'onda di segno opposto. Possiamo determinare dalla figura, osservando il picco della funzione, che il valore dell'ordinata è $y=2$, quindi $a=2$. $b$ invece è la frequenza della funzione, ovvero il numero di volte in cui la funzione si ripete nel suo periodo, la funzione seno ha come periodo $2 \pi$, il nostro $b$ "comprime" la funzione in modo che si ripeta 2 volte nel suo intervallo originale, il nuovo periodo quindi è $\frac{2 \pi}{b}$. Quando b è un numero negativo questo ribalta la funzione.

Conta le creste dell'onda per ricavare il periodo graficamente:

$bc$ è la fase della funzione, è praticamente un parametro di traslazione lungo un vettore $\vec{V}=(bc,0)$, trasla verso destra quando è positivo, verso sinistra quando è negativo (le funzioni sinusoidali sono normalmente scritte nella forma $f(x)=a\sin (bx+c)+h$, qui $c$ è la fase: 

Nota che $\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2})$ (traslato di 2 la funzione coseno in modo che non si sovrapponesse e potessi vedere meglio).

Adesso che sappiamo che cosa sono $b$ e $c$ vediamo come ricavarli dalle informazioni date nel grafico.

Notiamo che $\frac{2\pi}{3}$ è uno zero della funzione, ciò significa che $b(\frac{2\pi}{3}-c)=0$, perché è lo zero che segue dopo il picco negativo della funzione, dato che $b$ è positivo ricaviamo inequivocabilmente che $c=\frac{2\pi}{3}$.

Per determinare $b$ invece usiamo l'altro zero della funzione $b(\frac{\pi}{6}-\frac{2 \pi}{3})= - \pi$ (il meno perché viene prima di $\frac{2 \pi}{3}$ che abbiamo stabilito essere 0, quindi non può essere maggiore, quindi segue che $b=2$. Nota che $a=2=b$ sono termini fissi nella nostra terna, mentre $c$ darà un risultato equivalente se è un numero reale del tipo $\frac{2 \pi}{3} +2 \pi k$, perché dopo $\theta + 2\pi k$ sono angoli complanari. Per verificare che sia valida la riscrittura $f(x)=2 \sin(2x-\frac{4 \pi}{3})$ dobbiamo verificare che la fase sia un numero reale del tipo definito pocanzi e che $a=2=b$ quindi raccogliamo il 2 all'interno dell'argomento: $f(x) = 2 \sin (2(x-\frac{2}{3} \pi))$ chiaramente $a=2=b$, e $-\frac{2 \pi}{3} = - \frac{2 \pi}{3} +2 \pi \cdot 0$, quindi le funzioni sono equivalenti.

Per quanto riguarda il grafico di $g(x)= |f(x)|$, basta rivolgere tutte le creste dell'onda verso l'alto, perché il valore assoluto rende tutto positivo (o nullo).

Aggiungo anche che una funzione sinusoidale completa si presenta come $f(x)= a \sin (bx+c)) +h$, $h$ è un parametro di traslazione lungo le ordinate che trasla la funzione secondo il vettore $\vec{H}= (0,h)$, si può calcolare $h$ graficamente sapendo che questo parametro rappresenta la distanza tra il nuovo picco negativo della funzione e $-1$.

Grafico di $g(x)$:

https://www.desmos.com/calculator/4pv247kc7z