Ciao!
La situazione in cui ci troviamo è questa.
Dimostriamo che i due triangoli $ABC$ e $DEC$ sono simili.
Essi hanno $\hat{C}$ in comune, $ \hat{D} \cong \hat{A}$ perché angoli corrispondenti delle due parallele $AB$ e $DE$ (parallele per ipotesi) tagliate dalla trasversale $AC$. Analogamente accade considerano $BC$ come trasversale, quindi $ \hat{B} \cong \hat{E}$.
I triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine.
Dato che sono simili, anche le loro altezze sono proporzionali:
Chiamiamo $P$ l'intersezione tra $DE$ e $CH$, abbiamo:
$CP :CH= AB: DE$
Possiamo dimostrare la stessa cosa nello stesso modo per $A'B'C'$ e $D'E'C'$, quindi
$ C'P' : C'H' = A'B': D'E'$
Sappiamo, per ipotesi, che $CH \cong C'H'$ e, poiché per ipotesi le corde sono state tracciate alla stessa distanza dalla base, si ha che $HP \cong H'P'$ e quindi $CP \cong C'P'$ per differenza di segmenti congruenti.
Di conseguenza, $CP:CH = C'P': C'H' $ e sostituendo con le due proporzioni viste prima (per proprietà transitiva delle proporzioni) $CP:CH$ può essere sostituito con $AB:DE$ mentre $C'P': C'H'$ può essere sostituito con $D'E'$, ottenendo:
$AB:DE = A'B': D'E'$
@pazzouomo una domanda ma la basi dei triangoli in questo non sono BC e B'C'?
@pazzouomo Grazie, spero che legga i miei commenti che non sono negativi, servono solo per farmi capire