Potenze

Problema:

Determinare la scomposizione in fattori primi dei seguenti numeri: $x=5^6−1$, $y = 15^4 − 50^2$.

Si determinino inoltre le ultime cifre decimali di $x^x$, $x^y$, $y^x$, $y^y$ .

Soluzione:

$x=5^6−1=(5^3-1)(5^3+1)=(125-1)(125+1)=(124)(126)=(31 \times 2 \times 2)(7 \times 3 \times 3 \times 2)=31 \times 7 \times 3^2 \times 2^3$ [15624]

$y = 15^4 − 50^2 = (15^2-50)(15^2+50)=(175)(275)=(5^2 \times 7)(5^2 \times 11)=11 \times 7 \times 5^4$ [48125]

Per quanto riguarda i numeri $x^x$ e $x^y$ si può facilmente dedurre che il numero $x$ termina con 4 poiché è prodotto di 124 e 126; osservando la sequenza

$4^0=1, \: 4^1=4, \: 4^2=16, \: 4^3=64, \: 4^4=256, \: ... \:$

si nota facilmente che le cifre 4 e 6 in posizione finale si ripetono ciclicamente ogni 2 numeri escludendo $4^0$ e che dunque riscrivendo l'esponente in $mod2$ è possibile scoprire in che posizione della sequenza esso si trovi.

Dato che il numero è pari si ha che il modulo di 15624 è nullo.

Se non ha familiarità con l'operatore mod immagini di sottrarre un certo numero di volte 2, inevitabilmente si arriverà al numero 0 partendo da un numero pari, ciò è deducibile anche senza l'ausilio di calcolatrici.

Questo permette di capire che il numero termina per 6.

Analogamente analizzando l'esponente $y$, che è dispari, si giunge alla conclusione che $x^y$ termina per  4.

Per quanto riguarda i numeri $y^x$ e $y^y$ poiché $y$ è $n \times 5 \times ... \times 5$, con $n$ dispari, l'ultima cifra di esso sarà necessariamente 5 e dunque si ha che elevando $x$ per qualsiasi numero diverso da 0 esso avrà come cifra finale 5.