POSIZIONE RECIPROCA TRA RETTA E IPERBOLE

Posso illustrarti l'argomento del titolo (non l'esercizio in allegato perché non c'è; tu hai allegato un link, cosa che giustamente il Regolamento vieta perché non è detto che ogni lettore sia in grado di aprirlo: io non sono in grado!).
POSIZIONE RECIPROCA TRA RETTA E IPERBOLE
L'iperbole non degenere è una conica a centro, come ellisse e circonferenza non degeneri, e come esse può essere rispetto a una retta in tre posizioni reciproche.
1) Retta e conica sono esterne se la risolvente del sistema fra le loro equazioni ha discriminante negativo (Δ < 0) e quindi i due punti che costituiscono la soluzione hanno coordinate complesse: non hanno punti reali in comune;
2) sono tangenti se Δ = 0: hanno in comune un punto reale doppio detto punto di tangenza;
3) sono secanti se Δ > 0: hanno in comune due punti reali distinti detti punti di intersezione.
Pur essendo una curva aperta come la parabola non degenere l'iperbole non può come essa avere in comune con una retta un solo punto reale semplice in quanto le rette parallele all'asse trasverso intersecano entrambi i rami.
ESEMPIO
La più semplice delle iperboli: Γ ≡ x*y = 1
La più generale delle rette: r ≡ a*x + b*y + c = 0
La risolvente del loro sistema
* a*x + b/x + c = 0 ≡ a*x^2 + c*x - b = 0
e il suo discriminante
* Δ = 4*a*b + c^2
su cui condurre la distinzione di casi
1) Δ < 0 (esterne): a*b < - c^2/4
2) Δ = 0 (tangenti): a*b = - c^2/4
3) Δ > 0 (secanti): a*b > - c^2/4

L'iperbole è equilatera con asintoti obliqui y=x ; y=-x quindi asintoti di coefficienti angolari m=1: m=-1

Metto a sistema il fascio di rette per P e l'iperbole stessa:

{y = m·x + 2

{x^2 - y^2 = 1

procedo con sostituzione

x^2 - (m·x + 2)^2 = 1

x^2·(m^2 - 1) + 4·m·x + 5 = 0

determino:

Δ/4 = (2·m)^2 - 5·(m^2 - 1)---> Δ/4 = 5 - m^2

---------------------------

Δ/4 < 0

5 - m^2 < 0----> m < - √5 ∨ m > √5

retta esterna

-------------------------

Δ/4 = 0

5 - m^2 = 0----> m = - √5 ∨ m = √5

retta tangente

-------------------------

Δ/4 > 0 ∧ m ≠ ±1

- √5 < m < √5 ∧ m ≠ ±1

------------------------------

La retta interseca l'iperbole in un solo punto se il suo coefficiente angolare è pari a quello di uno dei due asintoti: quindi se m = ±1