Posizione reciproca di una retta e un piano

Punto a.

Scrivo la retta data.

{x - z = 1

{y = 2·z

tramite equazioni parametriche ponendo z=t, quindi:

{x = 1 + t

{y = 2·t

{z = t

da cui si deduce il vettore direzionale v = (l,m,n)=(1,2,1) della retta r

Il generico piano passante dal punto [1, 1, 2], ha equazione:

a·(x - 1) + b·(y - 1) + c·(z - 2) = 0

poniamo come coefficienti.

[a, b, c] → [1, 2, 1] cioè quelli indicati da v=(l,m,n)

si ottiene:

1·(x - 1) + 2·(y - 1) + 1·(z - 2) = 0

x + 2·y + z = 5

tale piano lo mettiamo a sistema con la retta r data inizialmente:

{x - z = 1

{y = 2·z

{x + 2·y + z = 5

Lo risolviamo ed otteniamo l'intersezione R che ha coordinate:

[x = 5/3 ∧ y = 4/3 ∧ z = 2/3]

Calcoliamo la distanza PR:

[5/3, 4/3, 2/3]

[1, 1, 2]

PR =d = √((5/3 - 1)^2 + (4/3 - 1)^2 + (2/3 - 2)^2)

d = √21/3 = √(7/3)

Per il punto b)

Considero il fascio di piani che ha come sostegno la retta r iniziale.

{x - z - 1 = 0

{x - 2·z = 0

Quindi:

x - z - 1 + k·(x - 2·z) = 0

Il piano passante per P è dato dal valore di k:

1 - 2 - 1 + k·(1 - 2·2) = 0---> - 3·k - 2 = 0--> k = - 2/3

quindi: 

x - z - 1 + (- 2/3)·(x - 2·z) = 0---> (x + z - 3)/3 = 0

x + z - 3 = 0

Il piano passante per P e parallelo al piano x + y = 1

cioè x + y = c  è dato dal valore di c:

1 + 1 = c--> c = 2

La retta che si voleva determinare sarà quindi data dall'intersezione dei due piani trovati.

{x + z - 3 = 0

{x + y = 2