polinomio di Mclaurin di arctan(1+x²)

y = ATAN(1 + x^2)

y = x^6/12 - x^4/4 + x^2/2 + pi/4

Funzioni pari.

Servono i valori delle due funzione per x = 0 ed i valori delle derivate 2^, 4^, 6^  delle due derivate delle due funzioni ed uguagliarle per x=0. Devi porre:

y = a + b·x^2 + c·x^4 + d·x^6

Non possiamo usare la composizione tra la funzione f(y) = arctan(y) e la funzione g(x) = (1+x^2). La ragione è che per x = 0  la funzione g(x) vale 1.

Non rimane altro che sviluppare in serie di Taylor di f(y) con centro in y = 1. Lo sviluppo in questo caso è

$ arctan(y) = \frac{\pi}{4} + \frac{y-1}{2} - \frac{(y-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^3}{12} + o(y^3) $

ora possiamo comporre le due funzioni 

$ arctan(1+x^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{x^2}{2} - \frac{(x^2)^2}{4} + \frac{(x^2)^3}{12} + o(x^6) $

$ arctan(1+x^2) = \frac{\pi}{4} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{12} + o(x^6) $