[Risolto] Polinomi

Procediamo considerando il grado dei polinomi.

Se p è un polinomio di grado 0 ($p(x)=a_0$) allora

$p(x+y) = a_0 \leq p(x) + p(y) = a_0+a_0$ $\forall a_0\geq 0$

Se p è di grado 1 ($p(x)=a_1x+a_0$ e $p(x+y) = a_1(x+y)+a_0$) allora abbiamo:

$a_1(x+y)+a_0 \leq a_1x+a_0+a_1y+a_0$

$ a_1x+a_1y+a_0 \leq a_1x+a_1y + 2a_0$

$a_0 \geq 0$

dunque la disuguaglianza vale per $a_0\geq 0$.

Se p è di grado 2: $p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$ e $p(x+y)=a_2(x+y)^2+a_1(x+y)+a_0$ dunque:

$ a_2x^2+a_2y^2+2a_2xy+a_1x+a_1y+a_0 \leq a_2x^2+a_1x+a_0+a_2y^2+a_1y+a_0$

$ 2a_2xy\leq a_0$

Nota che è rimasto solo il doppio prodotto e il termine noto a destra. Riscriviamo come:

$ xy \leq \frac{a_0}{2a_2}$

Questa disuguaglianza dovrebbe valere $\forall x,y \in R$. Nota che $xy=k$ è l'equazione di un'iperbole riferita agli asintoti, che essendo illimitata non può essere limitata dalla funzione $y=\frac{a_0}{2a_2}$.

Se saliamo al grado 3:

$p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$

e

$p(x+y)=a_3(x+y)^3+a_2(x+y)^2+a_1(x+y)+a_0$

$p(x+y) = a_3x^3+3a_3x^2y+3a_3xy^2+a_3y^3+a_2x^2+2a_2xy+a_2y^2+a_1x+a_1y+a_0$

e 

$a_3x^3+3a_3x^2y+3a_3xy^2+a_3y^3+a_2x^2+2a_2xy+a_2y^2+a_1x+a_1y+a_0 \leq a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 + a_3y^3+a_2y^2+a_1y+a_0$

cioé

$3a_3x^2y+3a_3xy^2+2a_2xy \leq +a_0 $

Anche stavolta sono rimasti i tripli e doppi prodotti e il termine noto a destra e anche in questo caso la funzione è non limitata.

Salendo di grado avremo sempre funzioni formate dai vari quadrupli, quintupli, sestupli ecc... prodotti che ci restituiranno funzioni comunque mai limitate.

Pertanto gli unici polinomi che soddisfano la proprietà

$p(x+y) \leq p(x) + p(y)$ $\forall x,y \in R$

sono:

- I polinomi costanti del tipo $p(x)=a_0$

- I polinomi di primo grado $p(x)=a_1x+a_0$ 

entrambi con la condizione $a_0 \geq 0$

Facciamo qualche prova

Grado 0

p(x) = k

k <= k+k

k >= 0

Grado 1

A(x+y) + B <= Ax + B + Ay + B

B >= 0

Grado 2

A(x+y)^2 + B(x+y) + C <= Ax^2 + Bx + C +

+ Ay^2 + By + C

2Axy <= C

Questa non può essere sempre verificata

a meno che non sia A=0 e C >= 0.

Per ora non so andare oltre. Tuttavia immagino

che per gradi superiori un problema analogo

si ripresenti.