[Risolto] Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza

Il raggio della circonferenza inscritta ad un triangolo è il suo apotema;

L'area del triangolo come per tutti i poligoni si trova facendo anche così:

A = perimetro * apotema / 2;

A = perimetro * r / 2;

perimetro = Area * 2 / r;

perimetro = 120 * 2 / 4,8 = 50 cm; perimetro del triangolo;

Troviamo la base BC del triangolo isoscele:

Lato obliquo AB = AC = 17 cm;

17 + 17 + BC = 50;

BC = 50 - (17 + 17) = 16 cm; (base);

troviamo l'altezza h, usando la formula dell'area;

b * h / 2 = Area;

h = Area * 2 / b ;

h = 120 * 2 / 16 = 15 cm.

Ciao  @giovygenny

Valgono le seguenti identità nel triangolo isoscele di base b, altezza h, lato obliquo L, inraggio r.
* L^2 = h^2 + (b/2)^2 (relazione pitagorica)
* p = b + 2*L (perimetro)
* S = b*h/2 (area)
* r = 2*S/p = b*h/(b + 2*L)
Con i dati
* S = 120 cm^2
* L = 17 cm
* r = 4.8 = 24/5 cm
si riscrivono le relazioni valorizzandole
* L^2 = h^2 + (b/2)^2 ≡ 17^2 = h^2 + (b/2)^2
* p = b + 2*L ≡ p = b + 2*17
* S = b*h/2 = 120
* r = 2*S/p = b*h/(b + 2*L) ≡ 24/5 = b*h/(b + 2*17)
e, risolvendo il loro sistema,
* (17^2 = h^2 + (b/2)^2) & (p = b + 2*17) & (b*h/2 = 120) & (24/5 = b*h/(b + 2*17)) ≡
≡ (h = √(1156 - b^2)/2) & (p = b + 34) & (b*√(1156 - b^2)/2 = 240) & (24/5 = b*(√(1156 - b^2)/2)/(b + 2*17)) ≡
≡ ((b = 16) oppure (b = 30)) & ((b = 16) oppure (b = 9 + 3*√769/5)) & (h = √(1156 - b^2)/2) & (p = b + 34) ≡
≡ (b = 16) & (h = √(1156 - 16^2)/2 = 15) & (p = 16 + 34 = 50)
si ottengono i valori richiesti.

b = 16 cm e h = 15 cm

Infatti

da r=2S/P segue subito

P = 2S/r  = 240/4.8 cm = 50 cm

b = (50  - 2*17) cm = 16 cm

h = 2S/b = 240/16 cm = 15 cm

L'area di un triangolo isoscele misura 120 cm?. Il suo lato obliquo è lungo 17 cm. La circonferenza inscritta nel triangolo ha un raggio di 4,8 cm. Quanto è lunga la base del triangolo? Quanto è lunga la sua altezza?

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Calcola il perimetro (2p) con la seguente formula:

$r= \dfrac{2×A}{2p}$

sostituisci con i dati che hai:

$4,8 = \dfrac{2×120}{2p}$

$4,8 = \dfrac{240}{2p} $

$4,8×2p = 240 $

$2p = \dfrac{240}{4,8}$

$2p= 50\,cm;$

quindi:

base $= 2p-2×lo = 50-2×17 = 50-34 = 16\,cm;$

per l'altezza calcola come segue, facendo riferimento alla figura:

$OH= OK = r= 4,8\,cm;$

segmento $CK= lo-\dfrac{b}{2} = 17-\dfrac{16}{2} = 17-8 = 9\,cm;$

ora calcola OC applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo COK:

segmento $OC = \sqrt{(CK)^2+(OK)^2} = \sqrt{9^2+4,8^2} = 10,2\,cm;$

altezza $h= CH = OC+OH = 10,2+4,8 = 15\,cm.$

L'area A di un triangolo isoscele ABC misura 120 cm^2 . Il suo lato obliquo AB è lungo 17 cm. La circonferenza inscritta nel triangolo ha un raggio r di 4,8 cm. Quanto è lunga la base BC del triangolo? Quanto è lunga la sua altezza AH ?

r = 4,8 = 2A/2p

perimetro 2p = 120*2/4,8 = 50 cm

base BC = 2p-2AB = 50-2*17 = 16 cm 

altezza AH = √17^2-8^2 = 15,0 cm 

@giovygenny - Segui la risposta di @eidosm , che mi permetto di salutare, la mia risposta può andare bene se non avevi l'area, almeno per calcolare l'altezza, mi sono un po' perso. Saluti.