[Risolto] area trapezio ABNM

sono simili ABC e MNC , per il 1° criterio  , avendo l'angolo in C^ in comune e due lati adiacenti in proporzione 2:1 .

Quindi a = lato/2

... poi con Pitagora

h = radq((lato/2)² - (lato/4)²) = lato radq(1/4 - 1/16) = lato*radq3  / 4 = a*radq3 /2

S = semisomma basi * h =( 2a+a)(a*radq3 /2)/2 = 3*a²*radq3/4   ---> OK!

...................

ps

...  con trigonometria:

S = semisomma basi * h =( 2a+a)(a*sen60°)/2 = 3*a²*radq3/4   ---> OK!

ancora:

gli altri utenti hanno osservato che:

Sabc/Smn = (lato/(lato/2))² = 4 = (1/k)²

ora Sabc = lato *2h /2= lato*h = 2a* a*radq3 /2 = a²*radq3   {come implicitamente assunto dagli altri utenti}

per cui:

S = Sabc -Smn = Sabc - Sabc /4 = 3Sabc /4 = 3*a²*radq3/4   ---> OK!

es 12 

6 medio prop tra 3 e 2r-3 ... euclide

3/6 = 6 /(2r-3)  ---> 2r-3 = 36/3 --->  r = 7.5

x = r = 7.5 ---> OK!

.. l'es10 l'ha fatto exProf per sbaglio 

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/pitagora-e-euclide-2-2/#post-27403

es8

AMC ha quindi lati AC = 9 cm; MC = BC/2 = 6 cm  e h la stessa di ABC, con ERONE:

h = 2S/BC = 2* radq(p(p-a)(p-b)(p-c))/BC = 2* sqrt (13(13-5)(13 -9)(13-12)) /12 =  (2 sqrt(26))/3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*+sqrt+%2813%2813-5%29%2813+-9%29%2813-12%29%29+%2F12

pertanto :

Samc = BC/2 * h/2  = BC*h /4 = 12* (2 sqrt(26))/(3*4) = 2 sqrt(26)    ---> OK!

... oppure , con Pitagora:

h = sqrt(9^2 -(12 - BK)^2 )= sqrt(5^2 -BK^2) ---> (9^2 -(12 - BK)^2 ) = (5^2 -BK^2) ---> 9^2 -(12 - BK)^2 ) = 5^2 -BK^2 ---> 81 -25 = (12 - BK)^2 -BK^2 ---> 81 -25 = (12 - BK)^2 -BK^2 ---> 56= (144 -2BK*12 +BK²) -BK^2 ---> 56= 144 -2BK*12 ---> 24BK =88 ---> BK =11/3 cm

h = (2 sqrt(26))/3 ---> OK!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+sqrt%289%5E2+-%2812+-+11%2F3%29%5E2+%29

@luciacozaa

E' già il secondo esercizio che ti svolgo. Un invito a leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

palesare le tue difficoltà ed inviare foto dritte e ben visibili.

Basta osservare che i triangoli ABC e MNC sono simili e sono triangoli equilateri!

I lati del triangolo CMN sono la metà di quelli del triangolo ABC quindi K=1/2 ( AB = 2a) come coefficiente di similitudine. Quindi vuol dire che l’area del triangolo

CMN= 1/2·(a·√3/2·a) = √3·a^2/4 e l'area del triangolo più grande: 

Area ABC= 4·(√3·a^2/4) = √3·a^2

Per  differenza area  trapezio:

√3·a^2 - √3·a^2/4 = 3·√3·a^2/4

N°9

altezza h = (a√3)/2

base = 2a 

area = somma basi*altezza / 2  =  3a*(a√3)/4 = 3a^2*(√3)/4

Un triangolo equilatero ABC di lato L ha
* altezza h = (√3/2)*L
* area S = (√3/4)*L^2
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Una parallela al lato AB distante k*h dal vertice C (0 < k < 1), che interseca in M il lato AC e in N il lato BC, ripartisce ABC nel triangolo simile MNC e nel trapezio isoscele ABNM.
Per similitudine il triangolo MNC ha
* lato L(k) = k*L
* altezza h(k) = (√3/2)*k*L
* area S(k) = (√3/4)*(k*L)^2 = S*k^2
e l'area del trapezio ABNM risulta, per differenza,
* A(ABNM) = S - S(k) = (1 - k^2)*S = (1 - k^2)*(√3/4)*L^2
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NEL CASO IN ESAME
Si hanno i dati
* k = 1/2
* lato L(1/2) = L/2 = a ≡ L = 2*a
e si chiede
* A(ABNM) = (1 - k^2)*(√3/4)*L^2 = (1 - (1/2)^2)*(√3/4)*(2*a)^2 = (3*√3/4)*a^2
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Alla faccia del titolo, Pitagora e Euclide con le similitudini C'ENTRANO COME I CAVOLI A MERENDA.