[Risolto] Piramide e cilindron

Figura
La figura da costruire è l'assonometria cavaliera di una piramide retta a base esagonale regolare con un piano secante parallelo alla base, a 1/3 dell'altezza dalla base.
Ripassi
1) Il volume V di un cilindro di altezza h e area di base B è V = B*h.
2) L'area H dell'esagono regolare di lato L è H = (3*√2/2)*L^2; quella S del suo incerchio è S = π*((√3/2)*L)^2 = (3/4)*π*L^2.
3) Se fra due figure simili le lunghezze corrispondenti sono in rapporto k, con 0 < k < 1, allora le aree sono in rapporto k^2 e i volumi sono in rapporto k^3.
Esercizio
Nella piramide descritta in narrativa il piano secante parallelo alla base, a distanza x dal vertice e h = 1 - x dalla base, individua una piramide simile a quella data —con rapporto k = x/1 = x— che ha per base la sezione di area
* H = ((3*√2/2)*L^2)*x^2 = (3*√2/2)*(x*L)^2
cioè quella di un esagono regolare di lato x*L con incerchio di area
* S = (3/4)*π*(x*L)^2
Il richiesto cilindro inscritto, di base B = S e altezza h = 1 - x, ha il volume
* V = B*h = ((3/4)*π*(x*L)^2)*(1 - x) = (3*π*L^2/4)*(x^2 - x^3)
quindi la funzione da massimizzare, sotto il vincolo 0 < x < 1, è il polinomio
* p(x) = y = x^2 - x^3
con derivate
* p'(x) = 2*x - 3*x^2
* p''(x) = 2 - 6*x
e condizione di massimo
* (p'(x) = 0) & (p''(x) < 0) ≡
≡ (2*x - 3*x^2 = 0) & (2 - 6*x < 0) ≡ x = 2/3
da cui infine
* V(x) = (3*π*L^2/4)*(x^2 - x^3) <= V(2/3) = (π/9)*L^2

Immagina la piramide vista dall’alto. Immagina di segarla con un piano orizzontale al una certa altezza…

Segui il ragionamento che ho svolto al link:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/aiuto-esercizio-di-matematica-2/

Α = pi·(√3/2·l)^2 = area di base del cerchio inscritto

Α = 3·pi·l^2/4

con l si è indicato lo spigolo di base della piramide

Α' è l'area di base del cerchio inscritto al una certa quota dalla base della piramide.

Vale la relazione:

A/A'=h^2/x^2

Cioè il loro rapporto è pari al rapporto dei quadrati delle distanze dal vertice della piramide.

Quindi:

3·pi·l^2/4/Α' = h^2/x^2-----> Α' = 3·pi·l^2·x^2/(4·h^2)

Il volume è pari a:

Α'·(h - x) = V

3·pi·l^2·x^2/(4·h^2)·(h - x) = V

V'=0---->3·pi·l^2·x·(2·h - 3·x)/(4·h^2)=0

x = 2·h/3 che si sapeva già se hai consultato il link di sopra

3·pi·l^2·(2·h/3)^2/(4·h^2)·(h - 2·h/3) = V max

V max=pi·h·l^2/9