[Risolto] Piramide a base quadrata

a·x + b·y + c·z + d = 0 è il piano

determiniamo le costanti a,b,c imponendo il passaggio:

{a·2 + b·1 + c·1 + d = 0 per [2, 1, 1]

{a·3 + b·(-1) + c·3 + d = 0 per [3, -1, 3]

{a·1 + b·0 + c·5 + d = 0  per [1, 0, 5]

Quindi risolvo il sistema:

{2·a + b + c + d = 0

{3·a - b + 3·c + d = 0

{a + 5·c + d = 0

ed ottengo: [a = - 2·d/7 ∧ b = - 2·d/7 ∧ c = - d/7]

Quindi il piano:

(- 2·d/7)·x + (- 2·d/7)·y + (- d/7)·z + d = 0

((- 2·d/7)·x + (- 2·d/7)·y + (- d/7)·z + d = 0)·(- 7/d)

2·x + 2·y + z - 7 = 0

L'altezza della piramide è pari alla distanza d del vertice dal piano trovato:

V[3, 4, 10]

d = ABS(2·3 + 2·4 + 10 - 7)/√(2^2 + 2^2 + 1^2)

quindi:

d = 17/3= 5.67 cm circa

"misura dell'altezza della piramide" = |Vα| = distanza da V(3, 4, 10) al piano α(ABCD).
La distanza d = |Pπ| del punto P(u, v, w) dal piano
* π ≡ a*x + b*y + c*z + d = 0
è
* |Pπ| = d = |a*u + b*v + c*w + d|/√(a^2 + b^2 + c^2)
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I coefficienti di α(ABCD) sono la soluzione del sistema dei tre vincoli d'appartenenza
* (a*2 + b*1 + c*1 + d = 0) & (a*3 - b*1 + c*3 + d = 0) & (a*1 + b*0 + c*5 + d = 0) ≡
≡ (a = 2*c) & (b = 2*c) & (d = - 7*c)
da cui
* α ≡ 2*c*x + 2*c*y + c*z - 7*c = 0 ≡ 2*x + 2*y + z - 7 = 0
* |Pπ| = d = |2*3 + 2*4 + 1*10 - 7|/√(2^2 + 2^2 + 1^2) = 17/3 = 5.(6)