Una superficie sferica $\gamma_1$ di raggio $r_1=3$ e centro $C_1(1 ;-1 ; 2)$ è tangente esternamente nel punto $T$ alla super ${ }_{-}$ ficie sferica $\gamma_2$ di centro $C_2(1 ; 3 ; 5)$. Ricava l'equazione del piano $\alpha$ passante per $T$ e tangente a entrambele sfere.
Buonasera qualcuno mi puó spiegare l’esercizio 4?
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Livello 1
Esercizio 3
γ1
(x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 3^2
sfera di raggio r1=3 e centro [1, -1, 2]
γ2
si sa il centro: [1, 3, 5] determino il suo raggio
d = √((1 - 1)^2 + (3 + 1)^2 + (5 - 2)^2) = distanza dei due centri : d = 5
r2= d - r = 5 - 3 = 2
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 5)^2 = 2^2
scrivo in forma parametrica la retta passante per i due centri
{x = 1
{y = -1 + α·t
{z = 2 + β·t
Quindi per t = 0-----> [1, -1, 2]
Determino i due parametri ponendo t = 5 (perché so quanta strada devo fare per raggiungere T punto di tangenza)
3 = -1 + α·5-----> α = 4/5
5 = 2 + β·5-----> β = 3/5
Determino il punto di tangenza conoscendo le equazioni parametriche:
{x = 1
{y = -1 + 4/5·t
{z = 2 + 3/5·t
Devo porre t=3:
{x = 1
{y = -1 + 4/5·3----> y = 7/5
{z = 2 + 3/5·3----> z = 19/5
Quindi: T [1, 7/5, 19/5]
Risolvo rispetto a z la sfera iniziale:
z = 2 - √(- x^2 + 2·x - y^2 - 2·y + 7) ∨ z = √(- x^2 + 2·x - y^2 - 2·y + 7) + 2
Scelgo la semisfera in grassetto perché: 19/5 = 3.8 > 2
e determino il piano tangente in T a tale semisfera:
zo=19/5
z'x=(1 - x)/√(- x^2 + 2·x - y^2 - 2·y + 7)
z'y= - (y + 1)/√(- x^2 + 2·x - y^2 - 2·y + 7)
Valutate in (1,7/5):
(1 - 1)/√(- 1^2 + 2·1 - (7/5)^2 - 2·(7/5) + 7) = 0
- (7/5 + 1)/√(- 1^2 + 2·1 - (7/5)^2 - 2·(7/5) + 7) = - 4/3
Piano tangente comune:
z - 19/5 = 0·(x - 1) - 4/3·(y - 7/5)
z = (17 - 4·y)/3
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Genius II
@lucianop non ho capito questa osservazione “Determino i due parametri ponendo t = 5 (perché so quanta strada devo fare per raggiungere T punto di tangenza)”. 5 non è la distanza tra i centri? La distanza dal lungo di tangenza non è per una sfera 2 e per l’altra 3?
Esattamente : Ho scelto 5 per questo motivo. Per arrivare a T devo percorrere 3/5 della distanza AB.
Buona notte @archi90
@lucianop mi spiegheresti che legame c’è tra il t e la distanza di 3/5? Provo a spiegarmi meglio, t che cosa rappresenterebbe nelle equazioni parametriche da te indicate?
Siccome per t=0 ti trovi nel centro della 1^ sfera, siccome per t=5 vai a finire al cento della seconda sfera, siccome t esprime la strada percorsa che è su una retta e quindi lineare, ti ritrovi nel punto T se percorri, lungo questa strada i 3/5 del percorso totale. (quindi per t=3)
Spero di essermi spiegato bene. Ciao.
Come già ti scrissi, magari si vedesse l'esercizio 4!
Per l'esercizio tre, invece, qualcosa da dire si trova.
Due sfere distinte, non coincidenti, se sono tangenti lo sono in un solo punto T e il comune piano tangente in T è ortogonale alla congiungente dei centri.
Con i dati
* C1 = A(1, - 1, 2)
* C2 = B(1, 3, 5)
* r1 = 3
si calcolano
* |AB| = 5 (distanza fra i centri)
* AB ≡ A + k*(B - A) = (1, - 1, 2) + k*((1, 3, 5) - (1, - 1, 2)) = (1, 4*k - 1, 3*k + 2) ≡
≡ (x = 1 + 0*k) & (y = - 1 + 4*k) & (z = 2 + 3*k) (congiungente dei centri)
* k(T) = r1/|AB| = 3/5 (posizione di T sul segmento AB)
* T = (1, 4*3/5 - 1, 3*3/5 + 2) = (1, 7/5, 19/5)
da cui si vede che la direzione di AB, normale al richiesto piano α, si può dare come
* (0, 4, 3)
da cui il fascio di piani
* α(u) ≡ 0*x + 4*y + 3*z + u = 0
a cui deve appartenere quello per T(1, 7/5, 19/5) soddisfacendo al vincolo
* 0*1 + 4*7/5 + 3*19/5 + u = 0 ≡ u = - 17
che infine dà
* α = α(- 17) ≡ 4*y + 3*z - 17 = 0
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Genius I
@exprof potresti spiegarmi gentilmente questo passaggio?
” k(T) = r1/|AB| = 3/5 (posizione di T sul segmento AB)“
immagino 3/5 sia dovuto al fatto che il raggio di una sfera è 3 e la distanza dei due centri sia 5 ma non capisco che legame c’é tra questo rapporto e k
@Archi90
"non capisco che legame c’é tra questo rapporto e k" la copula vuole l'accento grave.
Il legame è come quello fra la tua persona e "Archi90", il tuo nome, come t'ha già risposto @LucianoP al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/207578/
Ogni punto della retta corrisponde a un valore di k e ogni valore di k corrisponde a un punto della retta: k(T) è il valore di k che corrisponde al punto T che si trova a 3/ della distanza fra A e B.
Riguarda come ho definito il generico punto della retta: A + k*(B - A).
@exprof grazie mille ora ho capito
