considera il punto a di intersezione delle rette di equazioni y=2x+5 e x+2=0 e dato il punto C(5;3) determina gli altri vertici B e D in modo che ABCD sia un parallelogramma. Calcolare l'area.
considera il punto a di intersezione delle rette di equazioni y=2x+5 e x+2=0 e dato il punto C(5;3) determina gli altri vertici B e D in modo che ABCD sia un parallelogramma. Calcolare l'area.
21
punti
Livello 0
Scommetterei che alle elementari il dettato e il riassunto fossero i tuoi punti deboli, ma TANTO deboli!
Fino ad essere caduti per esaurimento.
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Data la diagonale AC di punto medio M una qualunque retta per M distinta da AC interseca una qualunque circonferenza centrata in M e di raggio r > 0 in due punti B e D che soddisfanno alla consegna. Ciò perché una delle definizioni di parallelogramma è: quadrilatero le cui diagonali si dimezzano l'una con l'altra.
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* (y = 2*x + 5) & (x + 2 = 0) ≡ A(- 2, 1)
La diagonale di estremi A(- 2, 1) e C(5, 3) ha punto medio
* M = (A + C)/2 = ((- 2, 1) + (5, 3))/2 = (3/2, 2)
lunghezza |AC| = √53 e, giacendo sulla retta y = (2*x + 11)/7, pendenza m = 2/7.
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Per il punto M(3/2, 2) passano tutte e sole le rette:
* x = 3/2, parallela all'asse y;
* y = 2 + k*(x - 3/2)
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Ogni circonferenza Γ centrata in M e di raggio r > 0 ha equazione
* Γ ≡ (x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = q = r^2
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I richiesti vertici B e D sono le soluzioni di uno dei due sistemi
* (x = 3/2) & ((x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = r^2) & (r > 0) ≡ (3/2, 2 ± r)
oppure
* (y = 2 + k*(x - 3/2)) & ((x - 3/2)^2 + (y - 2)^2 = r^2) & (r > 0) ≡
≡ (3/2 ± r/√(k^2 + 1), 2 ± k*r/√(k^2 + 1)) coi doppi segni concordi e con k != m = 2/7.
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Le due possibili famiglie di parallelogrammi, con uno o due gradi di libertà, sono
* A(- 2, 1), B(3/2, 2 - r), C(5, 3), D(3/2, 2 + r)
oppure
* A(- 2, 1), B(3/2 - r/√(k^2 + 1), 2 - k*r/√(k^2 + 1)), C(5, 3), D(3/2 + r/√(k^2 + 1), 2 + k*r/√(k^2 + 1))
57383
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Genius I
Ciao e buona serata pure a te. Scusami ma non ho capito cosa tu intenda con la domanda che mi hai posto (Mi dici quale considerazione t'ha indotto a scegliere la pendenza due?)
@LucianoP
Se il problema è indeterminato e tu hai dato una soluzione determinata avrai avuto i tuoi buoni motivi; essendo io ben conscio del mio rimbambimento ingravescente mi sono incuriosito del perché non li avessi visti anch'io e ti chiedevo di indicarmeli. La pendenza due è quella delle parallele che hai scelto.
Di nuovo.
Il punto A di intersezione delle rette di equazioni y=2x+5 e x+2=0 ha coordinate A(-2,1).
Il vertice C opposto ad A nel parallelogramma ha coordinate C(5,3): mi sembra quindi evidente che le parallele condotte da C vadano ad intersecare le rette date nei punti B e D e quindi determinano in modo univoco il parallelogramma stesso.
@LucianoP
Oddioddio! Avrei dovuto interpretare che due dei lati giacessero sulle rette che definiscono il punto A?
Io ho l'abito mentale che aggiungere ipotesi semplificative alla lettera del testo è un errore da bocciatura, come debbo fare per cavarmela con questi esercizi scritti alla sans-façon?
Grazie, grazie davvero!
94641
punti
Genius II
@LucianoP
Mi dici quale considerazione t'ha indotto a scegliere la pendenza due?
Grazie, e saluti.