Piano cartesiano e retta

Caratteristiche del fascio.

Riscrivo:

3·k·x - (1 + 2·k)·y - 6 = 0

come: k·(3·x - 2·y) - y - 6 = 0.

Quindi metto a sistema le rette generatrici:

{3·x - 2·y = 0

{-y - 6 = 0

che risolvo ottenendo il punto proprio centro del fascio:

[x = -4 ∧ y = -6]----> H [-4, -6]

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Triangolo rettangolo OAB di incentro I [1,-1]

La distanza dalla retta del fascio passante per H deve essere pari ad r = 1 essendo unitaria la distanza del centro della circonferenza inscritta dai cateti OA ed OB.

r = ABS(3·k·1 - (1 + 2·k)·(-1) - 6)/√((3·k)^2 + (- (1 + 2·k))^2)

r = 5·ABS(k - 1)/√(13·k^2 + 4·k + 1)

5·ABS(k - 1)/√(13·k^2 + 4·k + 1) = 1

Risolvendo si ottiene:

k = 1/2 ∨ k = 4

per k = 1/2:

3·(1/2)·x - (1 + 2·(1/2))·y - 6 = 0

3·x/2 - 2·y - 6 = 0---> 3·x - 4·y - 12 = 0

per k = 4:

3·4·x - (1 + 2·4)·y - 6 = 0---> 12·x - 9·y - 6 = 0

che escludiamo perché renderebbe l'incentro I esterno al triangolo AOB definito nel 4° quadrante.

E' poi dato il baricentro del triangolo rettangolo OCD definito nel 3° quadrante:

G [- 8/3, -4]

O [0, 0]

C [a, 0]

D [0, b]

Deve essere:

- 8/3 = (0 + a + 0)/3 ----> a = -8

-4 = (0 + 0 + b)/3----> b = -12

La retta passante per H deve passare per i punti :

C [-8,0] e D [0,-12]

3·k·(-8) - (1 + 2·k)·0 - 6 = 0

- 24·k - 6 = 0---> k = - 1/4

3·k·0 - (1 + 2·k)·(-12) - 6 = 0

6·(4·k + 1) = 0---> k = - 1/4

OK!!!

Per il momento può bastare...