Piano cartesiano e retta

$\textbf{a.}$

Nota che i segmenti $\overline{CM}$ e $\overline{CD}$ hanno in comune il punto $C$, quindi sono incidenti nel punto $C$, o coincidenti, sappiamo che sono incidenti perché le equazioni che descrivono le rette passanti per questi segmenti non sono equivalenti, allora $C$ è la soluzione del sistema delle due equazioni:

$\begin{equation} \begin{cases} y+8x=16 \\ y=4x+4  \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} 4x+4+8x=16 \\ y=4x+4 \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} x=1 \\ y=8 \end{cases} \end{equation}$

$C$ ha coordinate $(1,8)$.

Per trovare $A$, possiamo notare che l'altezza $\overline{CD}$ appartiene ad una retta di coefficiente angolare $4$, essendo perpendicolare alla base, il coefficiente angolare di $\overline{AB}$ è $-\frac{1}{4}$.

Quindi scriviamo l'equazione di $\overline{AB}$ conoscendo le coordinate di $B$ e il coefficiente angolare:

$y+1=-\frac{1}{4}(x-6)$

$x+4y-2=0$

Adesso sappiamo che $A_x= 2-4A_y$, perché $A$ appartiene alla retta passante per $\overline{AB}$, e sappiamo inoltre che $M_y= 16-8M_x$, perché $M$ appartiene alla retta di equazione $y+8x=16$, allora considera il sistema di equazioni:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{A_x+6}{2} = M_x \\ \frac{A_y-1}{2} =M_y \\ A_x= 2-4A_y \\ M_y=16-8M_x \end{cases} \end{equation}$

Scrivendo $M_y$ in funzione di $M_x$ e $A_x$ in funzione di $A_y$ ottieni il sistema di equazioni a 2 incognite:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{2-4A_y+6}{2} = M_x \\ \frac{A_y-1}{2} = 16-8M_x \end{cases} \end{equation}$

Ti risparmio le soluzioni che sono:

$M_x=2$, $A_y=1$, e quindi $A_x=-2$, $M_y=0$

Quindi $A$ ha coordinate $(-2,1)$.

$\textbf{b.}$

Conoscendo le coordinate calcoliamo facilmente il baricentro attraverso il metodo della media aritmetica:

$G_x=\frac{-2+6+1}{3}=\frac{5}{3}$

$G_y= \frac{-1+1+8}{3} = \frac{8}{3}$

Mentre per trovare l'ortocentro occorre l'equazione di un'ulteriore altezza (conosciamo già l'equazione dell'altezza $\overline{CD}$), scegliamo ad esempio $\overline{BC}$ il cui coefficiente angolare è 

$m_{\overline{BC}}= \frac{8+1}{1-6}=-\frac{9}{5}$

L'altezza è perpendicolare alla base e passa per $A$, quindi il suo coefficiente angolare è $\frac{5}{9}$ e la sua equazione è $y-1=\frac{5}{9}(x+2)$

$5x-9y+19=0$

Ora risolviamo il sistema seguente con le equazioni note:

$\begin{equation} \begin{cases} 5x-9y+19=0 \\ y=4x+4 \end{cases} \end{equation}$

Ti risparmio ancora una volta le soluzioni che sono:

$x=-\frac{17}{31}$, $y=\frac{56}{31}$.

$\textbf{c.}$ 

Nota l'equazione del lato $\overline{AB}:x+4y-2=0$ calcoliamo la distanza da $C$ alla retta passante per tale lato:

$h=d(C, \overline{AB})=\frac{|1+4 \cdot 8 -2|}{\sqrt{1^2+4^2}}= \frac{31}{\sqrt{17}}$

Calcoliamo la lunghezza di $\overline{AB} = \sqrt{(6+2)^2+(1+1)^2}=\sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$

Allora l'area del nostro triangolo risulta $A=\frac{1}{2} \overline{AB} h = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{17} \cdot  \frac{31}{\sqrt{17}} = 31$

$\textbf{d.}$

Per determinare l'equazione di tale retta occorre prima notare che i triangoli che si formano siano simili, quindi il rapporto tra l'altezza e la base è lo stesso nei due triangoli, quindi vale il sistema di equazioni:

$\begin{equation} \begin{cases} \frac{b_2}{h_2}=2\sqrt{17} \cdot \frac{\sqrt{17}}{31}= \frac{34}{31} \implies b_2=\frac{34}{31}h_2  \\ b_2 h_2= \frac{31}{2} \end{cases} \end{equation}$

Risulta che $h_2 ^2=\frac{31^2}{68}$, quindi la distanza tra $C$ e un punto appartenente alla retta $\overline{CD}$ e alla parallela $\overline{AB}$ è $h_2$, allora risolviamo l'equazione:

$(x-1)^2+(4x+4-8)^2=\frac{31^2}{68}$

Ti risparmio i passaggi e risulta che l'unica soluzione accettabile è $x=\frac{3}{34}$, perché l'altra soluzione coincide con un punto la cui retta passante anche per $C$ non sarebbe perpendicolare alla parallela ad $\overline{AB}$.

Dato che il punto di ascissa appena trovata appartiene alla retta passante per $\overline{CD}$ possiamo trovare anche la sua ordinata che risulta essere $y=\frac{74}{17}$, quindi ora usiamo l'equazione della retta passante per 2 punti:

$y-\frac{74}{17} = -\frac{1}{4} (x-\frac{3}{34})$

Che dopo le dovute semplificazioni si riduce a $2x+8y=35$