Piano cartesiano

Come puoi notare dalle coordinate il lato $\overline{AB}$ è parallelo all'asse $x$, quindi perché il poligono sia un parallelogramma anche il lato $\overline{CD}$ dev'esserlo e dev'essere tale che $\overline{CD} \cong \overline{AB}$, quindi $C_x - D_x = 0-(-4)=4$ allora conoscendo $C_x=2$ sostituiamo $2-D_x=4$ allora $D_x=-2$, adesso per trovare $D_y$ ci basta notare che dato che il poligono deve essere un parallelogramma allora $\overline{BC} \cong \overline{AD}$ quindi vale l'equazione $(A_x-D_x)^2+(A_y-D_y)^2=(B_x-C_x)^2+(B_y-C_y)^2$ sostituendo con i valori noti otteniamo che:

$(-4+2)^2+(-1-D_y)^2=(0-2)^2+(-1-5)^2$

$4+D_y ^2 +2D_y +1 = 4 +36$

$D_y ^ 2 +2D_y -35=0$

$(D_y+7)(D_y-5)=0$

Tuttavia la soluzione $D_y= -7$ non è accettabile perché il poligono deve essere un parallelogramma, quindi non può essere concavo, in definitiva le coordinate di $D$ sono $D_x=-2,\ D_y=5$.

Se non ti piace fare assunzioni particolari sul parallelismo con l'asse $x$ data la congruenza dei lati opposti puoi risolvere il sistema di equazioni:

$\begin{equation} \begin{cases} (D_x-2)^2+(D_y-5)^2=(-4-0)^2+(-1+1)^2 \\ (D_x +4)^2+(D_y+1)^2 = (2-0)^2+(5+1)^2 \end {cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} D_x ^2 -4D_x +4 + D_y ^2 -10D_y +25 = 16+0 \\ D_x ^2 + 8D_x + 16 + D_y ^2 + 2D_y +1 = 4 +36 \end{cases} \end{equation}$

$\begin{equation} \begin{cases} D_x ^ 2 - 4D_x + D_y ^2 -10D_y+13=0 \\ D_x ^2 + 8 D_x + D_y ^2 + 2D_y -23 =0 \end{cases} \end{equation}$

Con il metodo di riduzione (sottraendo la prima dalla seconda):
$12D_x + 12 D_y -36=0$

$D_x + D_y = 3$

$D_y = 3-D_x$ 

E allora con il metodo di sostituzione, nella prima equazione:

$D_x ^2 - 4D_x + (3-D_x)^2 -10(3-D_x) + 13 = 0$

$D_x ^2 - 4D_x + D_x^2 -6D_x + 9 -30 + 10D_x +13 = 0$

$2D_x ^2 -8 =0$

$D_x ^2 - 4 =0$

$D_x = \pm 2$

Scartiamo la soluzione $D_x =2$ perché il poligono non può essere concavo, quindi dato che $D_x +D_y = 3$ concludiamo che $D_y=3+2=5$ quindi $D_x=-2,\ D_y=5$.

Per calcolare l'area considera il grafico del piano cartesiano:

Per trovare l'area del parallelogramma puoi sottrarre all'area del rettangolo $AECF$ l'area dei triangoli congruenti $AED \cong BFC$, quindi $A=$(-4-2)(-1-5)-(2-0)(5+1)=36-12=24$

Oppure considera i triangoli congruenti $ABC \cong ADC$ e applica la formula di Erone calcolando i lati