[Risolto] Piano cartesiano

La retta congiungente i punti A(- a, - 3) e B(2, 2) è x = 2 per a = - 2 oppure
* r(a) ≡ (y = (5*x + 2*(a - 3))/(a + 2)) & (a != - 2)
di pendenza
* m(a) = 5/(a + 2)
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Nel fascio
* s(k) ≡ 2*k*x - (k - 1)*y + 4*(k - 1) = 0
con tutt'e tre i coefficienti parametrici, ci sono solo due casi particolari perché due coefficienti s'annullano per lo stesso valore k = 1.
* s(0) ≡ y = 4
* s(1) ≡ x = 0
quindi il fascio è centrato in C(0, 4) e si può riscrivere per distinzione di casi
* (k = 1) & (x = 0)
oppure
* (k != 1) & (y = (2*k/(k - 1))*x + 4)
di pendenza
* m(k) = 2*k/(k - 1)
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RISPOSTE
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a) "trova per quale valore di k le due rette sono parallele"
Se a = - 2 allora r(- 2) ≡ x = 2 è parallela ad s(1) ≡ x = 0.
Se a = 1/2 allora r(1/2) ≡ y = 2*x - 2 è parallela alla retta per C y = 2*x + 4 che però non fa parte del fascio s(k) perché m(k) = 2*k/(k - 1) = 2 non ha radici, è impossibile.
Se invece a non è in {- 2, 1/2} allora le due rette sono parallele se e solo se
* m(a) = m(k) ≡ 5/(a + 2) = 2*k/(k - 1) ≡ k = 5/(1 - 2*a)
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b) "calcola la distanza tra le due rette"
Se a = - 2 allora la distanza tra x = 2 ed x = 0 è d = 2.
Se a = 1/2 allora d è indefinita per assenza di una s(k) da confrontare con r(1/2).
Se a non è in {- 2, 1/2} allora d è (fai il disegno!) il prodotto della distanza fra le intercette
* |2*(a - 3)/(a + 2) - 4| = 2*|(a + 7)/(a + 2)|
per il coseno dell'arcotangente [cos(arctg(m)) = 1/√(m^2 + 1)] della pendenza antinversa a quella delle parallele
* m = - 1/m(a) = - (a + 2)/5
* cos(arctg(- (a + 2)/5)) = 1/√((- (a + 2)/5)^2 + 1) = 5/√(a^2 + 4*a + 29)
quindi
* d = 2*|(a + 7)/(a + 2)|*5/√(a^2 + 4*a + 29)