[Risolto] Perplessità sul coefficiente angolare di un fascio di rette

• Coefficiente angolare della retta data 3x+5y-1=0

Esplicitiamo l'equazione y=(-3/5)x+1/5 per cui m = -3/5

• Coefficiente angolare m' di tutte le rette perpendicolari alla retta data 

m' = 5/3

Infatti m*m' = -1

• Coefficiente angolare delle rette appartenenti al fascio 5kx-(k+4)y-2=0

NB. Se k=-4 la retta -20x-2=0 cioè x =-1/10 non è sicuramente perpendicolare alla retta data. Per k≠-4 possiamo dividere per k+4 e così esplicitare le funzioni del fascio. 

Esplicitiamo l'equazione y = [5k/(k+4)]*x - 2/(k+4)

Il coefficiente angolare della retta k-esima sarà m" = 5k/(k+4)

• Retta del fascio perpendicolare alla retta data.

E' sufficiente imporre che m' sia eguale a m" quindi

 5/3 = 5k/(k+4) 

k = 2

Introduciamo tale valore nell'equazione del fascio

10x-6y-2=0

5x-3y-1 = 0

5kx-(k+4)y-2=0;

devo arrivare a questa forma; m = coefficiente angolare.

(y = m x + q);

- (k + 4) y = 2 - 5kx; cambiamo segno.

y(k + 4) = 5kx - 2;

y = 5k x /(k + 4) - 2/(k + 4);

m = 5k /(k + 4);

Vogliamo la perpendicolare alla retta di equazione: 3x+5y-1=0. 

5y = - 3x + 1;

y = (- 3/5) x + 1/5;

m' = - 3/5.

Rette perpendicolari se m * m' = - 1;

5k /(k + 4) * (- 3/5) = - 1;

- 3k / (k + 4) = - 1;

3k = k + 4;

2k = 4;

k = 4/2 = 2;

retta:

y = 5 k x /(k + 4) - 2/(k + 4);

y = 5 * 2 * x /(2 + 4) - 2 /(2 + 4);

y = 10x/6 - 2/6;

y = 5/3 x - 1/3;

3y - 5x + 1 = 0;

5x - 3y - 1 = 0

LA TUA NARRATIVA MI LASCIA PERPLESSO SULLE TUE PERPLESSITA'.
Invece di darti spiegazioni su una domanda che non capisco bene, faccio così: svolgo l'esercizio a modo mio motivando i miei passi, poi tu vedi se t'ho dato abbastanza informazione da chiarirti le perplessità.
Se no, scrivi un commento con "@exProf" da qualche parte e speriamo che questo software ballerino riesca a notificarmelo.
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La retta di equazione
* 3*x + 5*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - 3*x)/5
ha pendenza m = - 3/5; ogni sua perpendicolare ha pendenza m' = - 1/m = 5/3.
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Le rette del fascio
* 5*k*x - (k + 4)*y - 2 = 0
si distinguono in tre gruppi
1) per k = - 4: x = - 1/10, parallela all'asse y;
2) per k = 0: y = - 1/2, parallela all'asse x;
3) per k non in {- 4, 0}
* r(k) ≡ y = (5*k/(k + 4))*x - 2/(k + 4)
queste intersecano entrambi gli assi coordinati con pendenzE (NB: al plurale, una pendenza per ciascuna retta; non esiste "il coefficiente angolare del fascio"!)
* m(k) = 5*k/(k + 4)
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La retta richiesta esiste se e solo se ha soluzione l'equazione
* m(k) = m' ≡ 5*k/(k + 4) = 5/3 ≡ k = 2
ed è
* r(2) ≡ y = (5*2/(2 + 4))*x - 2/(2 + 4) ≡
≡ y = (5*x - 1)/3