[Risolto] Periodo dei satelliti

Calcola i periodi orbitali dei satelliti che orbitano a una distanza dalla superficie terrestre:
a) pari a un raggio terrestre;
b) pari a due raggi terrestri.
c) I periodi dipendono dalle masse dei satelliti? Dipendono dalla massa della Terra?

(a) 14300s=3,98ℎ; b) 26300s=7,31ℎ )

formule risolutive 

go = Vo^2/(k*r) = Mt*G/(k*r)^2 

da cui derivano :

Vo = √Mt*G/(k*r)

To = 6,28*(k*r)/Vo 

essendo :

go = gravità orbitale in m/sec^2

Vo = velocità orbitale in m/sec 

k = multiplo del raggio terrestre

r = raggio terrestre  pari a 6,372*10^6 m

Mt = massa terrestre pari a circa 6,0*10^24 kg

G = costante di gravitazione universale pari a 6,67*10^-11 m^3/(kg*sec^2)

To = periodo orbitale in secondi 

da quanto sopra esposto si evidenzia che Vo e To dipendono dalla massa della terra Mt e non dalla massa del satellite  

veniamo, ora ai calcoli :

M*G  è una costante che vale 4,00*10^14 m^2/sec^2

√M*G/r  è una ulteriore costante pari a  7,923*10^3 

Vo = (1/√k)*7,923*10^3 m/sec 

nel caso h = r , K = 2

Vo = 1/√2 * 7,923*10^3 = 5,60*10^3  m/sec 

To = 6,2832*2*6,372*10^6/(5,60*10^3) = 14.300 sec  (3h , 59')

nel caso h = 2r , K = 3

Vo = 1/√3 * 7,923*10^3 = 4,57*10^3  m/sec 

To = 6,2832*3*6,372*10^6/(4,57*10^3) = 26.280 sec  (7h , 18')

Quindi nel primo caso sono 2R dal centro. Manca un fattore 8 (2³) sotto radice = 2*radice (2) portato fuori. E il conto torna!

I periodi dipendono esclusivamente dalla massa della terra e non da quella del particolare satellite in questione, come facilmente deducibile osservando la formula:

T=2*pi* radice [R³/(G*M_terra)]

R= distanza del satellite dal centro della terra