Passatempo di geometria proiettiva per i più smaliziati

Avevo scritto stupidaggini, chiedo scusa.

@exProf  fai con comodo, lo intendo come un passatempo 😊😉

@exProf spero ti piaccia. se hai commenti mi farebbe davvero piacere conoscerli e discuterne con te 🙂

SOLUZIONE
Io ho ragionato nel seguente modo:

per prima cosa scrivo l'equazione della generica conica
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
e passo in coordinate omogenee:
$a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{13}x_1x_3+2a_{23}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0$
Quindi, indicando con $X$ il vettore colonna:
$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

posso scrivere l'equazione della conica come:

$X^TAX=0$

dove la matrice quadrata $A$ è fatta da:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}$

Se indichiamo con $X_0$ il vettore colonna rappresentante le coordinate di un generico punto, la polarità definita da una conica si scrive come:

$X_0^TAX=0$

In particolare, per i due punti impropri presenti nel testo, indichiamo con $X_{0A}$ il vettore

$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

e con $X_{0B}$ il vettore

$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Quindi, senza per il momento pensare ad una parabola, provo semplicemente ad esplicitare la polarità di una generica conica rispetto ai due punti impropri:

$X_{0A}^TAX=0$

fornisce:

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} =0$

che restituisce come polare la retta:

$(a_{11}-a_{12})x_1+(a_{12}-a_{22})x_2+(a_{13}-a_{23})x_3=0$

ma tale retta deve essere uguale alla retta $x-y=0$ ovvero $x_1-x_2=0$

Confrontando i coefficienti si arriva a due equazioni:

$a_{11}=a_{22}$ e $a_{13}=a_{23}$

Agendo nello stesso modo per il punto $B_{\infty}$

$X_{0B}^TAX=0$

fornisce:

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} =0$

che restituisce la seguente retta polare:

$(2a_{11}+a_{12})x_1+(2a_{12}+a_{22})x_2+(2a_{13}+a_{23})x_3=0$

che deve essere uguale alla retta $x-y-1=0$ ovvero $x_1-x_2-x_3=0$

Quindi

$2a_{13}+a_{23}=-1$ 

se questa equazione la combino con $a_{13}=a_{23}$ trovata in precedenza ottengo:

$a_{13}=a_{23}=-1/3$ e ho trovato due coefficienti.

Inoltre ho anche:

$2a_{12}+a_{22}=-1$ 

$2a_{11}+a_{12}=1$ 

che combinate con $a_{11}=a_{22}$ permettono di ottenere

$a_{11}=a_{22}=1$ e $a_{12}=-1$

L'equazione della conica a questo punto risulta:

$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2-\frac{2}{3}x_1x_3-\frac{2}{3}x_2x_3+a_{33}x_3^2=0$

Adesso aggiungo il passaggio per $A=(1,1)$ che mi porta ad ottenere $a_{33}=4/3$ e quindi, in definitiva, tornando a coordinate non omogenee:

$3x^2+3y^2-6xy-2x-2y+4=0$

La matrice della conica è:

$\begin{bmatrix} 3 & -3 & -1\\ -3 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}$

il cui determinante è diverso da 0, quindi la conica non è degenere. Inoltre l'aggiunto del termine $33$ detto $A_{33}=0$, quindi il centro della conica è improprio. Pertanto è una parabola.

@Sebastiano
«spero ti piaccia. se hai commenti mi farebbe davvero piacere conoscerli e discuterne con te»
Ovviamente sì, la procedura risolutiva mi piace e mi piace com'è presentata.
Di commenti ne ho solo uno sul quale purtroppo non c'è nulla da discutere, ed è un commento sconsolato sugl'irreparabili danni cognitivi causati dal trascorrere dei decennii (scusa la doppia i, so che non l'apprezzi, ma non volevo che "il trascorrere dei decenni" ti suscitasse immagini di bambini al campo giochi del parco sotto casa.). I sessantadue anni passati dal mio esame di projettiva (Ahò, ariscùsame! m'è pure scappato uno jota, anzi due: oggi il mio inconscio non ha remore.) si sentono tutti. Avevo cercato di fare i tuoi stessi conti, ma sono arrivato a scontrarmi con due sistemi impossibili e ho cassato tutto per la frustrazione.
Alla fine del tuo svolgimento ho poi scoperto un'altra differenza dovuta ai trenta o quarant'anni di distanza fra la mia facoltà d'ingegneria e la tua: il modo di presentare il risultato finale; tu scrivi
* 3*x^2 + 3*y^2 - 6*x*y - 2*x - 2*y + 4 = 0
mentre io avrei lasciato la scrittura subito precedente
* x^2 - 2*x*y + y^2 - (2/3)*x - (2/3)*y + 4/3 = 0
per evidenziare la proprietà caratteristica sui termini di grado due
* (x - y)^2 - (2/3)*x - (2/3)*y + 4/3 = 0
ma anche questa è una pinzillacchera.

@exProf mi dispiace che non ti abbia rilassato!! fra un paio di giorni posto la soluzione, anche se penso che nessun altro proverà e risolverlo... 😓 

@exProf non si può. Ho tentato anche io in passato e non c'è davvero verso di cancellare una risposta. Alla fine avevo deciso di lasciare i tre puntini "..." come unico testo.

@exprof dopo un tempo prestabilito di 30 minuti non è più possibile cancellare una domanda e/o risposta.