Buongiorno e buon 2022 a tutti.
L'esercizio è: Consideriamo la spirale logaritmica che in coordinate polari (r(ϑ), ϑ) soddisfa l’equazione r(ϑ) = ae^ϑ per qualche a > 0, ϑ ∈ R.
(a) Trovare una parametrizzazione cartesiana (x(t), y(t)) della curva.
La soluzione proposta (senza svolgimento) è questa: Possiamo parametrizzare la curva con α(t) = (a*e^t*cos(t), a*e^t*sin(t).
Ma come si arriva a questa soluzione? Come devo scegliere le equazioni cartesiane?
Grazie mille a chiunque risponderà.
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Livello 2
Puoi ragionare su questo in modo canonico.
Esprimendo il legame fra coordinate cartesiane e polari risulta
x^2 + y^2 = r^2 = a^2 e^(2ϑ)
arctg* (y/x) = ϑ
pertanto si ottiene
y/x = tg ϑ => y = x tg ϑ e - sostituendo -
x^2 + x^2 tg^2 (ϑ) = a^2 e^(2ϑ)
x^2 = a^2 e^(2ϑ) /(1 + tg^2(ϑ) )
x(ϑ) = +- a e^ϑ/sqrt(1 + tg^2(ϑ)) = a e^ϑ cos ϑ
e y^2 = r^2 - x^2 = a^2 e^(2ϑ) sin^2(ϑ)
da cui y(ϑ) = a e^ϑ sin ϑ.
Buon Anno.
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Livello 7
