Determina i valori dei parametri $a \boldsymbol{c} b$ in modo che sia applicabile il teorema di Lagrange alla funzione: $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a \ln x+b & x<1 \\ 2 x+3 & x \geq 1\end{array}\right.$ nell'intervallo $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$
$$
[a=2, b=5]
$$