Determina le coordinate del vertice D del parallelogramma in figura e l’equazione della circonferenza che ha il diametro DA.
Determina le coordinate del vertice D del parallelogramma in figura e l’equazione della circonferenza che ha il diametro DA.
Partiamo dal principio che ABCD sia un parallelogramma ed otteniamo come prima cosa le:
Coordinate di D
Coefficiente angolare della retta passante per BC:
mBC = (2 - 1)/(5 - 2) = 1/3
Coefficiente angolare della retta passante per AB:
mAB = (2 - 0)/(5 - 3) = 1
Metto a sistema:
{retta passante per C di coefficiente angolare 1
{retta passante per A di coefficiente angolare 1/3
quindi:
{y - 1 = 1·(x - 2)
{y = 1/3·(x - 3)
cioè:
{y = x - 1
{y = x/3 - 1
Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = -1]
D[0, -1]
Quindi circonferenza passante per tre punti:
x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0
{3^2 + 0^2 + a·3 + b·0 + c = 0 passa per [3, 0]
{2^2 + 1^2 + a·2 + b·1 + c = 0 passa per [2, 1]
{0^2 + (-1)^2 + a·0 + b·(-1) + c = 0 passa per [0, -1]
Quindi:
{3·a + c = -9
{2·a + b + c = -5
{b - c = 1
risolvo ed ottengo: [a = -3 ∧ b = 1 ∧ c = 0]
x^2 + y^2 - 3·x + y = 0
Ciò conferma il fatto che sia una circonferenza passante per l'origine come in figura
AD è diametro della circonferenza in quanto la retta per AC ha coefficiente angolare pari a -1 quindi AC e DC sono fra loro perpendicolari.
x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0
passa per l'origine per cui manca il termine noto: (c=0)
{3^2 + 0^2 + a·3 + b·0 = 0 passa per A[3, 0]
{2^2 + 1^2 + a·2 + b·1 = 0 passa per C[2, 1]
Risolvo il sistema:
{a = -3
{2·a + b = -5
ed ottengo: [a = -3 ∧ b = 1]
Quindi circonferenza: x^2 + y^2 - 3·x + y = 0
da cui si riconosce che
[3/2,-1/2]
è il suo centro e raggio pari a: √((3/2)^2 + (- 1/2)^2 - c)
per c=0: r=√10/2 e quindi diametro pari a √10