Dato il quadrato inscrittoo nella circonferenza di equazione
𝑥^2+ 𝑦^2= 2
ed avente i lati paralleli agli assi 𝑥, 𝑦, si determinino i coefficienti dell’equazione
𝑦 = 𝑎𝑥^2+ 𝑏 𝑥 + 𝑐
in modo che la parabola che la rappresenta passi per i due vertici di ordinata positiva e divida il cerchio in due parti delle quali quella che contiene il centro è cinque volte l’altra.
200
punti
Livello 1
Vertici del quadrato:
[-1, 1] ; [1, 1]; [1, -1]; [-1, -1]
La parabola per A e B è una funzione pari, quindi del tipo:
y = a·x^2 + c
passa per A:
1 = a·(-1)^2 + c---> c = 1 - a
Quindi: y = a·x^2 + (1 - a)
Σ = (pi·r^2 - ΑΒ^2)/4
è la superficie superiore al lato AB compresa fra la circonferenza ed il lato AB stesso.
Α·Β = 2 ed r^2 = 2
Σ = (pi·2^2 - 2^2)/4---> Σ = pi - 1
L'altezza del segmento parabolico sottostante AB vale:
h=1+(1-a)=2-a
L'area di tale segmento vale:
Α = 2/3·2·ABS(2 - a)
Quindi deve essere: Α = 4·ABS(a - 2)/3
Σ + Α = 5/6·pi·r^2
In definitiva:
pi - 1 + 4·ABS(a - 2)/3 = 5/6·pi·2
Risolvi ed ottieni a da cui la parabola cercata
90104
punti
Genius II
