[Risolto] Parabole

C'è qualcosa che non va nei tuoi dati... MALEDIZIONE

y = - 2·x^2 + b·x + c

[0, -5]-----> -5 = - 2·0^2 + b·0 + c----> c = -5

Metto quindi a sistema:

{y = - 2·x^2 + b·x - 5

{y = - 4·x + 3

procedo per sostituzione

- 4·x + 3 = - 2·x^2 + b·x - 5

Quindi scrivo l'equazione parametrica in b:

- 2·x^2 + x·(b + 4) - 8 = 0

2·x^2 - x·(b + 4) + 8 = 0

Δ = 0 condizione di tangenza

(b + 4)^2 - 8·8 = 0----> b^2 + 8·b - 48 = 0

risolvo: b = -12 ∨ b = 4

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y = - 2·x^2 - 12·x - 5

x = - b/(2·a)---> x = - (-12)/(2·(-2))---> x = -3

asse parabola

y = - 2·(-3)^2 - 12·(-3) - 5----> y = 13 ordinata del vertice.

Quindi la parabola cercata è questa.

La parabola Γ di equazione
* Γ ≡ y = - 2*x^2 + b*x + c ≡ y = - 2*(x - b/4)^2 + b^2/8 + c
ha
* pendenza: m(x) = b - 4*x
* vertice: V(b/4, b^2/8 + c)
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Condizione "passi per A(0, - 5)"
* - 5 = - 2*(0 - b/4)^2 + b^2/8 + c ≡ c = - 5
* Γ ≡ y = - 2*(x - b/4)^2 + b^2/8 - 5
* V(b/4, b^2/8 - 5)
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Condizione "il suo vertice abbia ordinata positiva"
* b^2/8 - 5 > 0 ≡ (b < - 2*√10) oppure (b > 2*√10)
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Condizione "sia tangente ..."
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La retta
* t ≡ y = 3 - 4*x
ha pendenza m = - 4, quindi
* m(x) = m ≡ b - 4*x = - 4 ≡ x = b/4 + 1
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All'ascissa x = b/4 + 1 le due curve devono avere ordinate eguali
* 3 - 4*(b/4 + 1) = - 2*(b/4 + 1 - b/4)^2 + b^2/8 - 5 ≡
≡ (b = - 12) oppure (b = 4)
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Congiungendo i vincoli delle ultime condizioni si ha
* ((b = - 12) oppure (b = 4)) & ((b < - 2*√10) oppure (b > 2*√10)) ≡
≡ (b = - 12) & ((b < - 2*√10) oppure (b > 2*√10)) oppure (b = 4) & ((b < - 2*√10) oppure (b > 2*√10)) ≡
≡ (b = - 12) & (b < - 2*√10) oppure (b = - 12) & (b > 2*√10) oppure (b = 4) & (b < - 2*√10) oppure (b = 4) & (b > 2*√10) ≡
≡ (b = - 12) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ b = - 12
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CONCLUSIONE
* Γ ≡ y = - 2*(x + 3)^2 + 13
* V(- 3, 13)