[Risolto] Parabole

Il fascio
* F(k) ≡ y = x^2 - (k - 2)*x - (k^2 - 3) ≡
≡ y = (x - (k - 2)/2)^2 - ((k - 2)/2)^2 - (k^2 - 3) ≡
≡ y = (x - (k - 2)/2)^2 - (5*k^2 - 4*k - 8)/4
descrive parabole con
* vertice V((k - 2)/2, - (5*k^2 - 4*k - 8)/4)
* apertura a = 1 (> 0, quindi concavità verso y > 0)
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La curva denominata γ è una F(k) con
* vertice B(0, - 1)
quindi con
* ((k - 2)/2 = 0) & (- (5*k^2 - 4*k - 8)/4 = 2) ≡ k = 2
ed equazione
* F(2) ≡ γ ≡ y = x^2 - 1
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La curva denominata λ ha l'equazione che si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate di V
* ((k - 2)/2 = x) & (- (5*k^2 - 4*k - 8)/4 = y) ≡
≡ (k = 2*(x + 1)) & (- (5*(2*(x + 1))^2 - 4*2*(x + 1) - 8)/4 = y)
quindi
* λ ≡ y = - 5*x^2 - 8*x - 1
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I punti A e B sono le soluzioni reali del sistema
* γ & λ ≡ (y = x^2 - 1) & (y = - 5*x^2 - 8*x - 1) ≡
≡ A(- 4/3, 7/9) oppure B(0, - 1)
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CON CIO' TERMINA LO SVOLGIMENTO DELLA PARTE LEGITTIMA DELL'ESERCIZIO.
La consegna finale, così com'è scritta,
«Scrivere l'equazione DEL fascio di parabole con punti base A e B»
è insoddisfacibile perché contraddittoria.
Infatti
1) Esiste un'infinità di fasci di di parabole con punti base A e B, uno per ciascuna possibile inclinazione degli assi di simmetria rispetto al semiasse x > 0: usare "DEL" al singolare è insensato a meno di non prescrivere l'inclinazione (ma non è così).
2) Il singolare sarebbe giustificato chiedendo «il fascio di parabole generato da γ e λ» e non "con punti base A e B" (ma non è così).
CON CIO' TERMINA QUANTO SI DOVREBBE CONSEGNARE IN UN ESAME SCRITTO.
L'inclusione di queste osservazioni sulla contraddittorietà si deve all'eventualità che l'ultima consegna, lungi dall'essere il marchiano errore che sembra, sia invece una "domanda trabocchetto" intesa ad assegnare un voto premiale ai candidati che se n'accorgono e la contestano.
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Invece consegnare alcunché di ciò che segue, costituendo il peccato mortale "Ha arbitrariamente introdotto ipotesi semplificative", provoca sicuramente una penalizzazione (in esami competitivi, ho anche visto candidati esclusi dalle prove successive! In un concorso per trenta posti e duemila candidati i filtri hanno maglie strettissime.).
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SVOLGIMENTO ILLEGITTIMO #1
La generica parabola ha equazione, con cinque parametri,
* Γ(a, b, c, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
dalla quale si ricava quella, con tre parametri, degl'infiniti fasci di parabole con punti base A e B facendo sistema dei vincoli d'appartenenza di A e B
* ((u*(- 4/3) + v*7/9)^2 + a*(- 4/3) + b*7/9 + c = 0) & ((u*0 + v*(- 1))^2 + a*0 + b*(- 1) + c = 0) ≡
≡ ((12*u - 7*v)^2 - 108*a + 63*b + 81*c = 0) & (v^2 - b + c = 0) ≡
≡ (b = (27*a - 2*(6*u + v)*(3*u - 4*v))/36) & (c = (27*a - 2*(18*u^2 - 21*u*v + 14*v^2))/36)
e ora non sto a sostituire per scrivere Γ(a, u, v).
Il significato dei parametri è
* i valori di (u, v), non entrambi nulli, specializzano un singolo fascio determinando l'inclinazione dell'asse di simmetria
* "a" è il parametro di quel fascio
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SVOLGIMENTO ILLEGITTIMO #2
«il fascio di parabole generato da γ e λ» ha equazione
* Γ(a, b) ≡ a*(x^2 - y - 1) + b*(5*x^2 + 8*x + y + 1) = 0 ≡
≡ (a + 5*b)*x^2 + 8*b*x + (b - a)*y + (b - a) = 0