parabole

Question

In uno stesso sistema di coordinate cartesiane ortogonali due curve (parabole) hanno per equazioni:

y=x^2-2x

y = 2x - 1/2x^2.

Disegnare le due curve dopo aver trovato i loro punti d'intersezione, i punti d'incontro con l'asse delle x, i punti di minimo e massimo. Dire inoltre a quale distanza dallasse dllle x deve essere condotta una retta parallela a questo, affinché risultino uguali le due corde da essa determinate sulle due parabole.

Trovare:

a quale distanza dall'asse delle y, ed internamente alla striscia determinata dalle perpendicolari all'asse delle x passanti per i due punti d'incontro delle due curve, deve essere condotta una retta parallela all'asse delle y stesso, affinché sia massimo il segmento di essa avente gli estremi sulle due parabole;
l'area della parte di piano limitata dagli archi delle due parabole i quali hanno per estremi i punti d'incontro delle parabole stesse.

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Risposta

anonimo43

(@anonimo43)

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28/08/2024 11:13

LucianoP · Accepted Answer

Prima parte (in un secondo momento la seconda) {y = x^2 - 2·x {y = 2·x - 1/2·x^2 Risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = 8/3 ∧ y = 16/9] Quindi intersezioni fra le due parabole: [0, 0] e [8/3, 16/9] Risolvo ora due sistemi: {y = x^2 - 2·x {y = k che fornisce soluzione: [x = √(k + 1) + 1 ∧ y = k, x = 1 - √(k + 1) ∧ y = k] e quindi: Δx = √(k + 1) + 1 - (1 - √(k + 1)) = 2·√(k + 1) {y = 2·x - 1/2·x^2 {y = k che fornisce soluzione: [x = √2·(√(2 - k) + √2) ∧ y = k, x = √2·(√2 - √(2 - k)) ∧ y = k] e quindi: Δ·x = √2·(√(2 - k) + √2) - √2·(√2 - √(2 - k)) = 2·√2·√(2 - k) Quindi deve essere: 2·√(k + 1) = 2·√2·√(2 - k) che fornisce soluzione: k = 1 quindi distanza unitaria dall'asse delle x: y = 1 [attach]87675[/attach] Il segmento è dato dalla differenza : y = 2·x - 1/2·x^2 - (x^2 - 2·x) y = 4·x - 3·x^2/2 da valutare in 0 < x < 8/3 Se hai fatto le derivate: y' = 0 (C.N) 4 - 3·x = 0---> x = 4/3 Se invece non hai fatto le derivate: x = - b/(2·a) asse della parabola (il vertice è il valore massimo) b = 4; a = - 3/2---> x = - 4/(2·(- 3/2))---> x = 4/3 --------------------------------- Se hai fatto gli integrali: ∫(4·x - 3·x^2/2)dx= 128/27 valutato per 0 ≤ x ≤ 8/3 oppure sommi due segmenti parabolici.

[Risolto] parabole

Domande