[Risolto] PARABOLE

Per l'area richiesta alla fine ci pensiamo in un secondo momento..

{y = x^2 - 7·x + 12

{y = 4·x^2 - 25·x + 36

Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = 2, x = 4 ∧ y = 0]

I punti generici appartenenti alle due parabole li chiamo:

[α, α^2 - 7·α + 12]

[β, 4·β^2 - 25·β + 36]

Applico le formule di sdoppiamento per ottenere le tangenti in tali punti alle due parabole.

(y + α^2 - 7·α + 12)/2 = α·x - 7·(x + α)/2 + 12

semplifico ed ottengo: y = x·(2·α - 7) - α^2 + 12

(y + 4·β^2 - 25·β + 36)/2 = 4·β·x - 25·(x + β)/2 + 36

semplifico ed ottengo: y = x·(8·β - 25) - 4·β^2 + 36

Quindi le tangenti sono comuni alle due parabole se risulta soddisfatto il sistema:

{2·α - 7 = 8·β - 25

{12 - α^2 = 36 - 4·β^2

Lo risolvo ed ottengo: [α = 1 ∧ β = 5/2, α = 5 ∧ β = 7/2]

Quindi la prima tangente comune è:

y = x·(2·1 - 7) - 1^2 + 12---> y = 11 - 5·x

y = x·(8·(5/2) - 25) - 4·(5/2)^2 + 36---> y = 11 - 5·x

La seconda:

y = x·(2·5 - 7) - 5^2 + 12---> y = 3·x - 13

y = x·(8·(7/2) - 25) - 4·(7/2)^2 + 36---> y = 3·x - 13

I punti di tangenza sono:

[1, 1^2 - 7·1 + 12]----> [1, 6]

[5/2, 4·(5/2)^2 - 25·(5/2) + 36]----> [5/2, - 3/2]

relativamente alla 1^ tangente comune

[5, 5^2 - 7·5 + 12]---> [5, 2]

[7/2, 4·(7/2)^2 - 25·(7/2) + 36]---> [7/2, - 5/2]