[Risolto] Parabole

«E`dato il fascio di parabole di equazione y=ky^2-2y+k-2» FALSO
* y=ky^2-2y+k-2 ≡ k*y^2 - 3*y + (k - 2) = 0
è un fascio improprio di rette parallele all'asse x
* (k = 0) & (y = - 2/3) oppure (k != 0) & (y = (3 ± √(13 - 4*(k - 1)^2))/(2*k))
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«la retta di equazioney¼13», «direttrice l’assey» EEEHH? ecchedè?
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Faccio conto d'avere il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = k*x^2 - 2*x + (k - 2)
e di doverne determinare, oltre ai punti base (a), le parabole: per l'origine (b), con asse di simmetria x = 13 (c), con direttrice l'asse x (d).
Se questo conto è abusivo, devi riscrivere il testo con maggior attenzione.
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Dalle tre diverse forme equivalenti dell'equazione
a) Γ(k) ≡ y = k*x^2 - 2*x + (k - 2)
b) Γ(k) ≡ y = k*(x - (1 - √(2 - (k - 1)^2))/k)*(x - (1 + √(2 - (k - 1)^2))/k)
c) Γ(k) ≡ y = k*(x - 1/k)^2 - (2 - (k - 1)^2)/k
si leggono diverse proprietà geometriche delle parabole:
* dalla a l'intersezione Y(0, k - 2);
* dalla b le intersezioni X1((1 - √(2 - (k - 1)^2))/k, 0) oppure X2((1 + √(2 - (k - 1)^2))/k, 0);
* dalla c il vertice V(1/k, - (2 - (k - 1)^2)/k);
* da tutt'e tre l'apertura k != 0.
Da k si hanno:
* la distanza focale f = 1/(4*|k|)
* il fuoco F(1/k, - (2 - (k - 1)^2)/k + 1/(4*k)) = (1/k, (4*k^2 - 8*k - 3)/(4*k))
* la direttrice d ≡ y = - (2 - (k - 1)^2)/k - 1/(4*k) ≡ y = (2*k + 1)*(2*k - 5)/(4*k).
Per k = 0 si ha la retta
* Γ(0) ≡ y = - 2*(x + 1)
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A) Punti base
* Γ(1) & Γ(2) ≡ (y = x^2 - 2*x - 1) & (y = 2*x*(x - 1)) ≡
≡ nessuna intersezione reale
NOTA
* Γ(2) ≡ y = 2*x*(x - 1)
passa per l'origine e soddisfà alla richiesta "b".
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C) Da V(1/k, - (2 - (k - 1)^2)/k) si ha 1/k = 13 ≡ k = 1/13 da cui
Γ(1/13) ≡ y = (x - 13)^2/13 - 194/13
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D) Da d ≡ y = (2*k + 1)*(2*k - 5)/(4*k) si ha
* d ≡ y = 0 ≡ (2*k + 1)*(2*k - 5)/(4*k) = 0 ≡
≡ (k = - 1/2) oppure (k = 5/2) da cui
* Γ(- 1/2) ≡ y = - (x^2 + 4*x + 5)/2
* Γ(5/2) ≡ y = (5*x^2 - 4*x + 1)/2