parabole

La parabola ad asse verticale, per essere tangente all'asse delle x deve essere del tipo:

y = a·(x - k)^2

Imponendo il passaggio per P si ottiene:

1/4 = a·(-1 - k)^2-----> a·(k + 1)^2 = 1/4

quindi: a = 1/(4·(k + 1)^2)

Adesso mettiamo a sistema:

{y = 1/(4·(k + 1)^2)·(x - k)^2

{y = 2·x

svolgendo alcuni passaggi:

1/(4·(k + 1)^2)·(x - k)^2 - 2·x = 0

si ottiene: (x^2 - 2·x·(4·k^2 + 9·k + 4) + k^2)/(4·(k + 1)^2) = 0

posto quindi k + 1 ≠ 0 ossia k ≠ -1

x^2 - 2·x·(4·k^2 + 9·k + 4) + k^2 = 0

impongo la condizione: Δ/4 = 0

ed ottengo: (4·k^2 + 9·k + 4)^2 - k^2 = 0

fattorizzo: 8·(k + 2)·(k + 1)^2·(2·k + 1) = 0

k = - 1/2 ∨ k = -2 ∨ k = -1

Non accettabile l'ultimo.

Quindi due parabole:

a = 1/(4·(- 1/2 + 1)^2)----> a = 1

y = x^2 + x + 1/4

a = 1/(4·(-2 + 1)^2)----> a = 1/4

y = x^2/4 + x + 1

RIPASSO
Ogni parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
* asse di simmetria x = w
* tangente di vertice y = h
* fuoco F(w, h + 1/(4*a))
* direttrice d ≡ y = h - 1/(4*a)
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ESERCIZIO
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"passanti per P(-1,1/4)" vuol dire
* 1/4 = h + a*(- 1 - w)^2
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"tangente all'asse x" vuol dire
* tangente di vertice y = h = 0
* 1/4 = 0 + a*(- 1 - w)^2 ≡ (a = 1/(4*(w + 1)^2)) & (w != - 1)
* Γ(w) ≡ y = (x - w)^2/(4*(w + 1)^2)
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"tangente alla retta di equazione y=2x" vuol dire che il sistema
* (y = 2*x) & (y = (x - w)^2/(4*(w + 1)^2))
deve avere la risolvente
* (x - w)^2/(4*(w + 1)^2) - 2*x = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(4*w^2 + 9*w + 4)*x + w^2 = 0
che ha nullo il discriminante
* Δ(w) = 32*(w + 2)*(2*w + 1)*(w + 1)^2 = 0 ≡
≡ (w + 2)*(w + 1/2) = 0 ≡
≡ (w = - 2) oppure (w = - 1/2)
da cui infine le parabole richieste
* Γ(- 2) ≡ y = (x + 2)^2/4
* Γ(- 1/2) ≡ y = (x + 1/2)^2