Parabola particolare

Posso suggerirti un'idea. 

Il fuoco F = (p,q) é sull'asse, per cui p + q + 1 = 0 => q = -1 - p 

La direttrice é perpendicolare all'asse quindi ha equazione implicita x - y + k = 0

Devi imporre che i due punti siano equidistanti dal fuoco e dalla direttrice 

(-1 - p)^2 + (2 + 1 + p)^2 = (-1 - 2 + k)^2/(1+1)

(0 - p)^2 + (0 + 1 + p)^2 = k^2/(1+1)

(p+1)^2 + (p+3)^2 = (k-3)^2/2

p^2 + (p + 1)^2 = k^2/2

risolvendo il sistema trovi p e k e hai fuoco e direttrice.

Infine, applicando la definizione, scrivi l'equazione.

Ciao @luigi2

Sai che tale conica è possibile scriverla nel seguente modo:

a·x^2 + b·x·y + c·y^2 + d·x + e·y = 0

manca il termine noto f in quanto passa per l'origine.

Inoltre per essere una parabola dovrà risultare:

Δ = b^2 - 4·a·c = 0

Questo lo vedremo alla fine!

Diciamo: [α, β] le coordinate del fuoco.

Siccome esso sta sull'asse, e tale asse si scrive: y = -x - 1

tali coordinate sono: [α, -α - 1]

D'altra parte l'equazione della direttrice si scrive:  x - y + k = 0

Dovendo soddisfare la condizione di perpendicolarità con l'asse.

Quindi scriviamo l'equidistanza di (-1,2)  dal fuoco e dalla direttrice:

√((-1 - α)^2 + (2 + α + 1)^2) = ABS(-1 - 2 + k)/√(1^2 + (-1)^2)

Lo stesso discorso deve valere per il punto (0,0):

√((0 - α)^2 + (0 + α + 1)^2) = ABS(0 - 0 + k)/√(1^2 + (-1)^2)

Eleviamo quindi al quadrato entrambe le equazioni in grassetto:

{2·(α^2 + 4·α + 5) = (k - 3)^2/2

{2·α^2 + 2·α + 1 = k^2/2

Risolvendo il sistema si ottiene:

[k = - 5/4 ∧ α = - 1/8]

Andando così a determinare  la direttrice ed il fuoco:

x - y - 5/4 = 0-------> 4·x - 4·y - 5 = 0

[- 1/8, -(- 1/8) - 1]------> [- 1/8, - 7/8]

Quindi un punto (x,y) della parabola sarà equidistante dalla direttrice e dal fuoco:

ABS(4·x - 4·y - 5)/√(4^2 + (-4)^2) = √((x + 1/8)^2 + (y + 7/8)^2)

elevando al quadrato:

(4·x - 4·y - 5)^2/32 = (32·x^2 + 8·x + 32·y^2 + 56·y + 25)/32

16·x^2 - 8·x·(4·y + 5) + 16·y^2 + 40·y + 25 +

- (32·x^2 + 8·x + 32·y^2 + 56·y + 25) = 0

semplificando:

- 16·x^2 - 32·x·y - 48·x - 16·y^2 - 16·y = 0

x^2 + 2·x·y + y^2 + 3·x + y = 0

é effettivamente una parabola in quanto il trinomio rappresentato dai primi tre termini è un quadrato.

(per cui risulta Δ = b^2 - 4·a·c = 0 )

Al momento di pubblicare m'accorgo che @EidosM è venuta un'idea simile alla mia, ma in senso inverso: t'assicuro che non ne avevamo discusso fra noi e che ogni somiglianza è puramente casuale.
Ad ogni buon conto riscrivo tutto sviluppando qualcosa e tagliando via un po' di chiacchiere.
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Imporre che l'asse sia la retta
* s ≡ x + y + 1 = 0 ≡ y = - x - 1
vuol dire imporre la relazione fra le coordinate del vertice e del fuoco
* V(v, - (v + 1))
* F(k, - (k + 1))
ma non le loro posizioni in quanto sono generici punti cursore di s, di parametri k e v.
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* s(q) ≡ y = x + q
è il fascio delle normali all'asse, fra cui la direttrice.
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L'equazione generica della parabola di fuoco F(k, - (k + 1)) e direttrice d ≡ y = x + q ha la forma
* Γ ≡ (x + y)^2 - 2*(2*k + q)*x + 2*(2*k + q + 2)*y + 4*k*(k + 1) - q^2 + 2 = 0
a cui applicare i vincoli imposti dalle condizioni di passare per
* (0, 0): 4*k*(k + 1) - q^2 + 2 = 0
* (- 1, 2): (- 1 + 2)^2 + 2*(2*k + q) + 2*(2*k + q + 2)*2 = 0 ≡ q = - (2*k + 3/2)
il cui sistema
* (4*k*(k + 1) - q^2 + 2 = 0) & (q = - (2*k + 3/2)) ≡
≡ (k = - 1/8) & (q = - 5/4)
particolarizza
* Γ ≡ (x + y)^2 - 2*(2*(- 1/8) - 5/4)*x + 2*(2*(- 1/8) - 5/4 + 2)*y = 0 ≡
≡ (x + y)^2 + 3*x + y = 0
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Eguagliando i quadrati delle distanze del generico punto P(x, y) da F e d
* |PF|^2 = (k - x)^2 + (k + y + 1)^2
* |Pd|^2 = (q + x - y)/2
e semplificando si ottiene la forma di Γ.