Scrivi l'equazione della parabola che ha vertice nell'origine, come asse la bisettrice del secondo e del quarto quadrante e che passa per il punto $P(-\sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$.
$$
\left[3 x^2+6 x y+3 y^2+x \sqrt{2}-y \sqrt{2}=0\right.
$$
Scrivi l'equazione della parabola che ha vertice nell'origine, come asse la bisettrice del secondo e del quarto quadrante e che passa per il punto $P(-\sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$.
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\left[3 x^2+6 x y+3 y^2+x \sqrt{2}-y \sqrt{2}=0\right.
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Livello 2
Ciao di nuovo.
La parabola è sicuramente del tipo:
a·x^2 + b·x·y + c·y^2 + d·x + e·y = 0
manca del termine noto (f=0) ed inoltre dovrà risultare:
Δ = b^2 - 4·a·c = 0
Questo potrai verificarlo tu alla fine.
L'asse di tale parabola ha equazione: y = -x ed il suo vertice, passa per l'origine degli assi cartesiani.
Le coordinate del fuoco sono: [α, -α]
La direttrice deve essere perpendicolare all'asse quindi ha equazione del tipo:
y = x + k
Siccome il vertice della parabola è equidistante dal fuoco e dalla direttrice, deve essere:
[-α, α] il punto sulla direttrice appartenente alla stessa.
Quindi, imponendo il passaggio delle direttrice per tale punto:
α = -α + k-------> k = 2·α ----> y = x + 2·α
Determiniamo quindi il valore di α a partire dal punto dato sulla parabola imponendo l'equidistanza dal fuoco e dalla direttrice:
Quindi il punto di coordinate note: [- √2, 2·√2] equidistante da:
[α, -α] e da x - y + 2·α = 0 che si traduce in
√((α + √2)^2 + (-α - 2·√2)^2) = ABS(- √2 - 2·√2 + 2·α)/√(1^2 + (-1)^2)
elevando al quadrato si ottiene: 2·(α^2 + 3·√2·α + 5) = (√2·α - 3)^2
e risolvendo: α = - √2/24
Abbiamo quindi riportato la determinazione dell'equazione della parabola alla sua definizione:
[- √2/24, √2/24] è il fuoco; y = x - √2/12-----> 12·x - 12·y - √2 = 0 la direttrice
[x,y] il punto corrente sulla parabola
√((x + √2/24)^2 + (y - √2/24)^2) = ABS(12·x - 12·y - √2)/√(12^2 + (-12)^2)
(144·x^2 + 12·√2·x + 144·y^2 - 12·√2·y + 1)/144 = (6·√2·x - 6·√2·y - 1)^2/144
144·x^2 + 12·√2·x + 144·y^2 - 12·√2·y + 1 - (6·√2·x - 6·√2·y - 1)^2 = 0
72·x^2 + 144·x·y + 24·√2·x + 72·y^2 - 24·√2·y = 0
3·x^2 + 6·x·y + √2·x + 3·y^2 - √2·y = 0
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Genius II
Il fuoco sta sull'asse e quindi ha coordinate (h, -h)
la direttrice é perpendicolare all'asse : la sua equazione é allora y = x + k => x - y + k = 0.
V e P sono punti della parabola : deve allora risultare
(0 - h)^2 + (0 + h)^2 = |k|^2/(1+1) => k^2 = 4 h^2
(-rad(2) - h)^2 + (2 rad(2) + h)^2 = (- rad(2) - 2 rad(2) + k )^2 /(1+1)
ovvero (h + rad(2))^2 + ( h + 2 rad(2))^2 = (k - 3 rad(2))^2/2
Risolvi e trovi h e k.
Li metti negli elementi di fuoco e direttrice
scrivi la definizione e riduci a forma normale.
Buon lavoro con i calcoli e fammi sapere.
Aggiornamento > ho svolto i calcoli e si trova.
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Livello 7
Avere per asse la bisettrice dei quadranti pari, y = - x, implica che la direttrice dev'essere una parallela all'altra bisettrice
* d ≡ y = x + h
che lo interseca in H(- h/2, h/2).
Con il vertice V(0, 0) nell'origine la distanza focale è
* f = |VF| = |VH| = √(h^2/2) = |h|/√2
da cui
* F(h/2, - h/2)
Il punto cursore C(x, y) della parabola Γ di fuoco F e direttrice d è, per definizione, da essi equidistante.
---------------
* |Cd|^2 = (x - y + h)^2/2
* |CF|^2 = (x - h/2)^2 + (h/2 + y)^2
* Γ ≡ (x - y + h)^2/2 = (x - h/2)^2 + (h/2 + y)^2 ≡
≡ (x + y)^2 - 4*h*(x - y) = 0
---------------
Le coordinate di P(- √2, √8), dovendo soddisfare all'equazione di Γ, pongono un vincolo da cui si determinano il parametro
* (- √2 + √8)^2 - 4*h*(- √2 - √8) = 0 ≡
≡ h = - 1/(6*√2)
e l'equazione richiesta
* Γ ≡ (x + y)^2 - 4*(- 1/(6*√2))*(x - y) = 0 ≡
≡ (x + y)^2 + (√2/3)*(x - y) = 0
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Genius I