[Risolto] Parabola n 71

a) Ponendo a sistema x + 2y - 16 = 0 e x = 0   si ha 2y - 16 = 0 => y = 8

P = (0,8). L'asse é parallelo all'asse x, per cui  x = ay^2 + by + c

con - b/(2a) = 4 => b = -8a

Inoltre      0 = 64a + 8b + c per cui con b = -8a

risulta anche   64a - 64a + c = 0 => c = 0

e x = ay^2 - 8ay. Dal sistema con x = -2y + 16

scaturisce   ay^2 - 8ay = -2y + 16

ay^2 - 2(4a - 1) y - 16 = 0

per la quale deve essere D/4 = 0

(4a - 1)^2 + 16 a = 0

16 a^2 - 8a + 16 a + 1 = 0

16a^2 + 8a + 1 = 0

(4a + 1)^2 = 0

4a = -1

a = -1/4

b = -8*(-1/4) = 2

x = -1/4 y^2 + 2y

b) ponendo poi x = y/2

-1/4 y^2 + 2y = y/2

1/4 y^2 = 3/2 y

y^2 = 6y

y(y - 6) = 0

y = 6 e x = 3   :   A = (3,6)

Si deve ora trovare l'equazione della tangente tA

Scritta l'equazione del fascio di centro A

y - 6 = m(x - 3)

x - 3 = (y - 6)/m

x = 3 + (y - 6)/m

ponendola a sistema con x = -1/4 y^2 + 2y

ne scaturisce la risolvente

3 + (y - 6)/m = -1/4 y^2 + 2y

1/4 y^2 + y/m - 2y + 3 - 6/m = 0

y^2 + 4 (1/m - 2) y + 4(3 - 6/m) = 0

Ponendo D/4 = 0 segue

4(1/m - 2)^2 - 4(3 - 6/m) = 0

1/m^2 - 4/m + 4 - 3 + 6/m = 0

1/m^2 + 2/m + 1 = 0

(1/m + 1)^2 = 0

1/m = -1

m = -1

y - 6 = -(x - 3)

x + y - 6 = 3

x + y - 9 = 0

c) La simmetria rispetto alla retta y = 4 é descritta da

x' = x, y' = 2*4 - y

per cui x = x' e y = 8 - y'

Sostituendo in x + y - 9 = 0

si otterrà    x' + 8 - y' - 9 = 0

x' - y' - 1 = 0

x - y - 1 = 0

x = y + 1.

Ponendo a sistema con la parabola

-1/4 y^2 + 2y = y + 1

1/4 y^2 - y + 1 = 0

(1/2 y - 1 )^2 = 0

ha una sola soluzione : per cui la retta trasformata é tangente

alla parabola e risulta 1/2 yB = 1 => yB = 2

e infine xB = yB + 1 = 2+1 = 3

B = (3,2).