parabola max e min

y = k·x^2 - k·x - 2·k

Riscrivo il fascio nel seguente modo:

k·(x^2 - x - 2) - y = 0

Determino i punti base del fascio:

{x^2 - x - 2 = 0

{y = 0

(sono le generatrici del fascio)

{x = 2 ∨ x = -1

{y = 0

soluzione: [x = -1 ∧ y = 0, x = 2 ∧ y = 0] 

Punti base: [-1, 0] e [2, 0]

----------------------------------

{y = k·x^2 - k·x - 2·k

{y = x

Risolvo:

k·x^2 - k·x - 2·k - x = 0

k·x^2 - x·(k + 1) - 2·k = 0

Δ = (k + 1)^2 - 4·k·(- 2·k)

Δ = 9·k^2 + 2·k + 1

x1 = (k + 1 - √(9·k^2 + 2·k + 1))/(2·k) 

x1 = - (√(9·k^2 + 2·k + 1) - k - 1)/(2·k)

x2 = (k + 1 + √(9·k^2 + 2·k + 1))/(2·k)

x2 = (√(9·k^2 + 2·k + 1) + k + 1)/(2·k)

Δx = (√(9·k^2 + 2·k + 1) + k + 1)/(2·k) + (√(9·k^2 + 2·k + 1) - k - 1)/(2·k)

Δx = √(9·k^2 + 2·k + 1)/k = Δy

f(k)=√((√(9·k^2 + 2·k + 1)/k)^2 + (√(9·k^2 + 2·k + 1)/k)^2)

f(k)=√(4/k + 2/k^2 + 18)

f'(k)=0

1/(2·√(4/k + 2/k^2 + 18))·(- 4/k^2 - 4/k^3)=0

1/(2·√(4/k + 2/k^2 + 18))·(- 4·(k + 1)/k^3)=0

per k = -1

y = (-1)·x^2 - (-1)·x - 2·(-1)

y = - x^2 + x + 2

Domanda a)

$y=k{x}^2-kx-2k$   verificare se passa per $A(-1,0)$ e $B(2,0)\mathrm{\forall }k$

verifica per $A(-1.0)$ sostituisco $x=-1$

$y=k+k-2k=0$

verifica per $B(2,0)$ sostituisco $x=2$

$y=4k-2k-2k=0$

quindi $A$ e $B$ appartengono sempre alla parabola.

Domanda b)

Verifica della lunghezza della corda.

Trovo i punti di intersezione fra la bisettrice $y=x$ e parabola

$\{\begin{array}{l}y=k+k-2k=0\\ y=x\end{array}$

sostituisco $y=x$ e ottengo $0=k{x}^2-(k+1)x-2k$

risolvo: $x=\frac{(k+1)\pm \sqrt{(k+1{)}^2+8k^2}}{2k}$

lunghezza della corda 

trovo la distanza fra i due punti $P_1(x_1,x_1)e{P}_2(x_2,x_2)$ 

$D=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{2(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{2}|x_1-x_2|$

determino la lunghezza della corda

$x_1-x_2=\frac{\sqrt{2(9k^2+2k+1)}}{2k}$

$L=\sqrt{2}\frac{\sqrt{9k^2+2k+1}}{k}=\sqrt{\frac{2(9k^2+2k+1)}{k^2}}=\sqrt{18+\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}}$

La lunghezza della corda è verificata.

Trovo $k$ che rende minima la lunghezza 

derivo la funzione lunghezza della corda e la pongo $=0$:

$f(k)=\sqrt{18+\frac{4}{k}+\frac{2}{k^2}}{f}^{\prime }(k)=\frac{1}{2}(18+4k+\frac{2}{k^2})(4-\frac{4k^3-4}{k^3}=0$  la prima parte non si annulla, la seconda parte si annulla per $k=-1$

l'equazione della parabola è $y=-x^2+x+2$

Mi auguro di non aver fatto errori.