parabola max e min

a)

Ponendo k(x^2 - x - 2) = 0

risulta k = 0 oppure x^2 - 2x + x - 2 = 0

x(x - 2) + (x - 2) = 0

(x + 1)( x - 2) = 0

x = -1 V x = 2

A = (-1,0) B = (2,0)

b) Posto y = x

la risolvente retta - parabola é

x = kx^2 - kx - 2k

kx^2 - (k+1) x - 2k = 0

D = (k+1)^2 + 8k^2 = 9 k^2 + 2k + 1

La lunghezza della corda intercettata è

https://www.sosmatematica.it/contenuti/lunghezza-della-corda-intercettata-da-una-retta-su-una-conica/

L = sqrt(D)/|A| * sqrt(1 + m^2) =

= sqrt [ (9k^2 + 2k + 1)(1 + 1^2) ]/|k| =

= sqrt [ (18k^2 + 4k + 2)/k^2 ] =

= sqrt (18 + 4/k + 2/k^2).

c) la lunghezza minima corrisponde al minimo del radicando :

posto u = 1/k deve essere

2u^2 + 4u + 18 =

= 2(u^2 + 2u + 9) =

= 2[(u^2 + 2u + 1) + 8] =

= 2(u + 1)^2 + 16

si ha il minimo quando il quadrato a primo termine é 0

u + 1 = 0

u = -1

1/k = - 1

k = -1

y = -x^2 + x + 2

e L^2_min = 16 => L_min = 4