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Livello 2
Problema:
Scrivi l'equazione del fascio di parabole passanti per i punti A(1,-2) e B(3,6).
Soluzione:
Per scrivere l'equazione del fascio di parabole $Φ_γ$ è opportuno trovare l'equazione della retta passante per i due punti dati ed una parabola degenere qualsiasi passante per essi.
La retta passante per A e B è: $r:y-6-(\frac{8}{2}(x-3)=0$, ossia $r: y-4x+6=0$, mentre la parabola degenere può essere descritta dall'equazione che si annulla per x=1 e x=-3, ossia (x-1)(x-3)=0.
Il fascio risulta dunque esser descritto dall'equazione $Φ_γ: (y-4x+6)+k((x-1)(x-3))=0$.
L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.
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Livello 4
@rebc rebc, scusami
La retta passante per A e B è: (dove prendi quqesta formula, ovvero come arrivi alla parabola degenere? e alla x=1 e x=-3, cioè tutto questo passaggio:
La retta passante per A e B è: r:y−6−(8/2(x−3)=0, ossia r:y−4x+6=0, mentre la parabola degenere può essere descritta dall'equazione che si annulla per x=1 e x=-3, ossia (x-1)(x-3)=0.
Grazie mille, gentilissima.
@alby La retta passante per due punti è definita dalla formula $y-y_B=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} (x-x_B)$, se le serve la dimostrazione può facilmente trovarla in rete.
Per quanto riguarda la parabola il discorso è leggermente più particolare poiché è richiesta una pseudo-intuizione, ossia è richiesto di determinare un certo polinomio P(x) che abbia come zeri determinati valori di x, generalmente è semplice poiché bisogna applicare la formula $\prod_{n=1}^{i}(x-x_i)=0$ che è vera quando l'argomento di almeno una parentesi è nullo; nel caso in questione è necessario utilizzare $(x-x_A)(x-x_B)=0$ che si annulla esclusivamente per $x=x_A$ ed $x=x_B$. Graficamente ciò rappresenta una parabola degenere come due rette parallele all'asse delle ordinate passanti per i punti delle ascisse di A e di B.
Se le servono chiarimenti in merito li chieda, praestas cautela quam medela. 😉
@rebc rebc, dammi pure del TU. Allora la formula della retta credimi non l'ho mai vista in quel modo, neanche dai libri di testo. Forse sono logiche del "metodo dei fasci". Se hai un link dove posso studiare quella formula perchè non riesco a trovarla. Ok per i punti xA e XB. L'ultimo passaggio del fascio di parabole di solito il libro ha un risultato diverso perchè credo che dallla tua impostazione devo moltiplicare ed esplicitare la y. Infine se uso la formula di quella retta la Prof. può contestarmela? E' una domanda ovvio? Grazie infinite rebc sempre disponibile.
@alby per studiare la formula della retta passante per due punti puoi utilizzare questo link: https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-analitica/434-equazione-della-retta-passante-per-due-punti.html . Per quanto concerne la contestazione da parte della prof non credo ci siano problemi dato che essa è risultato di opportuni procedimenti algebrici che, con gli assiomi dati, risultano matematicamente corretti; in alternativa, dato che purtroppo alcuni professori hanno fisse discutibili, puoi riscrivere la retta come $r: y=mx+q$ e ricavare i valori dei parametri m e q tramite un sistema sostituendo i valori x,y con quelli dei punti dati ottenendo il medesimo risultato. 😉
Ps: non devi ringraziarmi, faccio ciò volontariamente. 😉
Pps: sì, il manuale esplicita il risultato.
Problema posto nei commenti:
Scrivi l'equazione del fascio di parabole passanti per i punti A(-1,0) e B(3,0).
Soluzione:
Per determinare un fascio di parabole tramite il metodo dei fasci è necessario trovare l'equazione della retta passante per i due punti dati ed una parabola degenere solitamente descritta in forma polinomiale.
La retta passante per A e B risulta essere l'asse delle ascisse ossia $r: y=0$, mentre l'equazione polinomiale che descrive la parabola degenere risulta essere quella che presenta delle radici nei punti di ascissa A e B, ossia $P(x)=(x+1)(x-3)=0$.
Il fascio di parabole risulta dunque esser espresso dall'equazione $Φ_γ: y+c((x+1)(x-3))=0$, ponendo -c=k esso può esser espresso come:
$Φ_γ: y=k((x+1)(x-3))$.
L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.
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Livello 4
@rebc Rebc ok avevo sbagliato i calcoli nella retta. Ultima domanda? Questo passaggio
Il fascio di parabole risulta dunque esser espresso dall'equazione Φγ:y+c((x+1)(x−3))=0, ponendo -c=k esso può esser espresso come:..................
da dove lo capisco?
Per disegnare il fascio di parabole come posso fare?
Sempre grazie!
@alby In realtà è una "forzatura" per rendere l'equazione più semplice, puoi scegliere tu se annettere il -1 a k o lasciarlo così com'è, solitamente alle superiori se appaiono tutti segni negativi si evita di annetterli a k per evitare confusione tra gli studenti, ma ad esempio all'università, specialmente in algebra lineare, questi escamotage si usano molto per avere un'espressione con soltanto termini positivi mantenendo invariato il risultato dato che è un procedimento matematicamente corretto. Non entro nel merito delle dipendenze ed indipendenze lineari dato che devo ancora iniziare l'università e vorrei evitare di dire stupidaggini, però puoi applicare ciò quando ti è possibile raccogliere un certo fattore, ad esempio in $k(-2x²-8x-6) \rightarrow -2k(x²+4x+3)$ puoi annettere il -2 a k dato che hai ottenuto un prodotto di costanti e k appartiene ad $\mathbb{R}$. In soldoni, tutto ciò che hai raccolto puoi trasformarlo in k controllando però per quali valori è definito.
Per ottenere IL fascio di parabole con punti base A(1, - 2) e B(3, 6) si deve imporre anche la direzione degli assi di simmetria.
Altrimenti si ottiene solo UN fascio con quei punti base, uno fra gl'infiniti possibili.
Ad esempio
* x = k*(y + 1/(8*k) - 2)^2 - (1024*k^2 - 128*k + 1)/(64*k)
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5Bx%3Dk*%28y--1%2F%288*k%29-2%29%5E2-%281024*k%5E2-128*k--1%29%2F%2864*k%29%2C%7Bk%2C%7B-2%2C-1%2C1%2C2%7D%7D%5D
è UN fascio con quei punti base.
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Genius I