[Risolto] PARABOLA / CIRCONFERENZA

a.  Circonferenza avente diametro AB

• Punto medio M del segmento AB. M((Ax+Bx)/2, (Ay+By)/2) = M(1,1)
• raggio circonferenza. $r^2 = (Mx - Ax)^2 + (My - Ay)^2 = 5
• equazione circonferenza, con centro in M e raggio r.

$ (x-1)^2+(y-1)^2 = 5$   ovvero   

$x^2+y^2-2x-2y-3=0$  

b.   Parabola passante per AB e tangente alla retta .

Scriviamo il fascio di parabole Γ(k) aventi AB come punti base.

• retta AB. $y = \frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
• rette parallele alla retta AB. $y = \frac{x}{2}+ q$ con q numero reale. 
• retta parallela alla retta AB passante per l'origine. q = 0 per cui $y = \frac{x}{2}$
• Fascio di parabole. $Γ(k): \frac{x}{2}+\frac{1}{2} + k(x-Ax)(x-Bx)$

$Γ(k): y = kx^2 + \frac{1}{2} (1-4k) x + \frac{1}{2} -3k $

• Determiniamo la parabola tangente alla retta $y = \frac{x}{2}$.

Impostiamo il sistema per le intersezioni e imponiamo la tangenza ponendo il discriminante eguale a zero.

$\left\{\begin{aligned} y &= kx^2 + \frac{1}{2} (1-4k) x + \frac{1}{2} -3k \\ y &= \frac{x}{2} \end{aligned} \right.$

Si affronta per confronto, il discriminante dell'equazione di secondo grado in x vale

$ Δ = k(8k-1)$

che si annulla per i seguenti valori di k

k = 0 V k = 1/8

-) per k = 0 la parabola degenera quindi è un'alternativa da scartare

-) per k = 1/8 la parabola ha equazione $y = \frac{x^2}{8}+ \frac{x}{4} + \frac{1}{8}$

$ y = \frac{1}{8}(x+1)^2$

b.1   Verifica tangenza asse  x 

• equazione asse x. y=0
• Il sistema intersezione parabola/asse x è l'equazione (x+1)^2 = 0 una soluzione con molteplicità 2 quindi le due curve sono tangenti.

c.   

Determiniamo le intersezioni circonferenza/parabola risolvendo il sistema

$\left\{\begin{aligned} \frac{1}{8}(x+1)^2 &= y \\ x^2+y^2-2x-2y-3 &= 0 \end{aligned} \right.$

Le uniche due soluzioni sono 

-) x = -1 & y = 0 cioè il punto A

-) x = 3 & y = 2 cioè il punto B.

c.1 tangenti in A

-) fascio di rette passanti per A(-1, 0).  y = m(x+1)

-) tangenza con la parabola. Solito sistema parabola/fascio rette

$\left\{\begin{aligned} y &= \frac{1}{8}(x+1)^2  \\ y &= m(x+1) \end{aligned} \right.$

$ 8m(x+1) = (x+1)^2$

$ 8mx +8m = x^2 +2x+1$

$ x^2 + 2(1-4m)x+1-8m = 0$

Il discriminante risulta essere $Δ = (1-4m)^2 - 1+8m $ 

Imponiamo la tangenza ponendo il discriminante eguale a zero,

$ (1-4m)^2 - 1+8m = 0$

$ 1+16m^2 -8m -1 +8m = 0$

$ 16m^2 = 0$

$ m = 0$

La retta tangente alla parabola in A ha equazione y = 0.

Sulla falsariga si opera per ottenere le tangenti negli altri 3 casi, sono solo una montagna di calcoli.